卡拉西奥多里定理

设 S 为 $\mathbb{R}^n$ 中的任意集合。如果 $x \in Co\left ( S ight )$，则 $x \in Co\left ( x_1,x_2,....,x_n,x_{n+1} ight )$。

证明

由于 $x \in Co\left ( S ight )$，则 $x$ 由 S 中有限个点的凸组合表示，即

$x=\displaystyle\sum\limits_{j=1}^k \lambda_jx_j,\displaystyle\sum\limits_{j=1}^k \lambda_j=1, \lambda_j \geq 0$ 和 $x_j \in S， \forall j \in \left ( 1,k ight )$

若$k \leq n+1$，则所得结果显然成立。

若$k \geq n+1$，则$\left ( x_2-x_1 ight )\left ( x_3-x_1 ight ),....., \left ( x_k-x_1 ight )$是线性相关的。

$\Rightarrow \exists \mu _j \in \mathbb{R}, 2\leq j\leq k$（不全为零）使得$\displaystyle\sum\limits_{j=2}^k \mu _j\left ( x_j-x_1 ight )=0$

定义$\mu_1=-\displaystyle\sum\limits_{j=2}^k \mu _j$，则 $\displaystyle\sum\limits_{j=1}^k \mu_j x_j=0, \displaystyle\sum\limits_{j=1}^k \mu_j=0$

其中并非所有 $\mu_j$ 都等于零。由于 $\displaystyle\sum\limits_{j=1}^k \mu_j=0$，至少有一个 $\mu_j > 0,1 \leq j \leq k$

则，$x=\displaystyle\sum\limits_{1}^k \lambda_j x_j+0$

$x=\displaystyle\sum\limits_{1}^k \lambda_j x_j- \alpha \displaystyle\sum\limits_{1}^k \mu_j x_j$

$x=\displaystyle\sum\limits_{1}^k\left ( \lambda_j- \alpha\mu_j ight )x_j $

选择 $\alpha$，使得 $\alpha=min\left \{ \frac{\lambda_j}{\mu_j}， \mu_j\geq 0 ight \}=\frac{\lambda_j}{\mu _j},$ 其中 $i=1,2,...,k$

如果 $\mu_j\leq 0, \lambda_j-\alpha \mu_j\geq 0$

如果 $\mu_j> 0, 则 \:\frac{\lambda _j}{\mu_j}\geq \frac{\lambda_i}{\mu _i}=\alpha \Rightarrow \lambda_j-\alpha \mu_j\geq 0, j=1,2,...k$

具体来说, $\lambda_i-\alpha \mu_i=0$, 根据 $\alpha$ 的定义

$x=\displaystyle\sum\limits_{j=1}^k \left ( \lambda_j- \alpha\mu_j ight )x_j$，其中

$\lambda_j- \alpha\mu_j\geq0$ 且 $\displaystyle\sum\limits_{j=1}^k\left ( \lambda_j- \alpha\mu_j ight )=1$ 且 $\lambda_i- \alpha\mu_i=0$

因此，x 可以表示为最多 (k-1) 个点的凸组合。

此归约过程可以重复，直到 x 表示为 (n+1) 个元素的凸组合。