严格拟凸函数

设 $f:S ightarrow \mathbb{R}^n$，S 为 $\mathbb{R}^n$ 中的非空凸集，则如果对于每个 $x_1,x_2 \in S$，且 $f\left ( x_1 ight ) eq f\left ( x_2 ight )$，则称 f 为严格拟凸函数，我们有 $f\left ( \lambda x_1+\left ( 1-\lambda ight )x_2 ight )< max \:\left \{ f\left ( x_1 ight ),f\left ( x_2 ight ) ight \}$

备注

• 每个严格拟凸函数都是严格凸。
• 严格拟凸函数并不意味着拟凸性。
• 严格拟凸函数可能不是强拟凸的。
• 伪凸函数是严格拟凸函数。

定理

设 $f:S ightarrow \mathbb{R}^n$ 为严格拟凸函数，S 为 $\mathbb{R}^n$ 中的非空凸集。考虑问题：$min \:f\left ( x ight ), x \in S$。如果$\hat{x}$是局部最优解，则$\bar{x}$是全局最优解。

证明

设存在$ \bar{x} \in S$使得$f\left ( \bar{x} ight )\leq f \left ( \hat{x} ight )$

由于$\bar{x},\hat{x} \in S$且S是凸集，因此，

$$\lambda \bar{x}+\left ( 1-\lambda ight )\hat{x}\in S, \forall \lambda \in \left ( 0,1 ight )$$

由于$\hat{x}$是局部最小值，$f\left ( \hat{x} ight ) \leq f\left ( \lambda \bar{x}+\left ( 1-\lambda ight )\hat{x} ight ), \forall \lambda \in \left ( 0,\delta ight )$

由于 f 严格为拟凸函数。

$$f\left ( \lambda \bar{x}+\left ( 1-\lambda ight )\hat{x} ight )< max \left \{ f\left ( \hat{x} ight ),f\left ( \bar{x} ight ) ight \}=f\left ( \hat{x} ight )$$

因此，这是矛盾的。

严格拟凹函数

设 $f:S ightarrow \mathbb{R}^n$ 且 S 是 $\mathbb{R}^n$ 中的非空凸集，则如果对于每个 $x_1,x_2 \in S$ 且 $f\left (x_1 ight ) eq f\left (x_2 ight )$，则 f 被视为严格拟凸函数，我们有

$$f\left (\lambda x_1+\left (1-\lambda ight )x_2 ight )> min \left \{ f \left (x_1 ight ),f\left (x_2 ight ) ight \}$$。

示例

• $f\left (x ight )=x^2-2$

  它是一个严格拟凸函数，因为如果我们取任意两个点$x_1,x_2$ 在满足定义 $f\left (\lambda x_1+\left (1- \lambda ight )x_2 ight )< max \left \{ f \left (x_1 ight ),f\left (x_2 ight ) ight \}$ 中的约束的域中，因为函数在负 x 轴上递减，在正 x 轴上递增（因为它是抛物线）。

• $f\left (x ight )=-x^2$

  它不是严格的拟凸函数，因为如果我们取 $x_1=1$ 和 $x_2=-1$ 和 $\lambda=0.5$，那么 $f\left (x_1 ight )=-1=f\left (x_2 ight )$ 但 $f\left (\lambda x_1+\left (1- \lambda ight )x_2 ight )=0$ 因此它不满足定义中规定的条件。但它是一个拟凹函数，因为如果我们在域中取任意两个满足定义中约束的点 $f\left ( \lambda x_1+\left (1-\lambda ight )x_2 ight )> min \left \{ f \left (x_1 ight ),f\left (x_2 ight ) ight \}$。因为函数在负 x 轴上增加，在正 x 轴上减少。