强拟凸函数

设 $f:S ightarrow \mathbb{R}^n$，且 S 为 $\mathbb{R}^n$ 中的非空凸集，则如果对于任意 $x_1,x_2 \in S$，且 $\left ( x_1 ight ) eq \left ( x_2 ight )$，则 f 为强拟凸函数，有 $f\left ( \lambda x_1+\left ( 1-\lambda ight )x_2 ight )< max \:\left \{ f\left ( x_1 ight ),f\left ( x_2 ight ) ight \},\forall \lambda \in \left ( 0,1 ight )$

定理

A拟凸函数 $f:S ightarrow \mathbb{R}^n$ 在非空凸集 S 上，若 $\mathbb{R}^n$ 中的点在连接 S 中任意点的线段上不是常数，则该函数为强拟凸函数。

证明

设 f 为拟凸函数，且在连接 S 中任意点的线段上不是常数。

假设 f 不是强拟凸函数。

存在 $x_1,x_2 \in S$ 且 $x_1 eq x_2$ 使得

$$f\left ( z ight )\geq max\left \{ f\left ( x_1 ight ), f\left ( x_2 ight ) ight \}, \forall z= \lambda x_1+\left ( 1-\lambda ight )x_2, \lambda \in \left ( 0,1 ight )$$

$\Rightarrow f\left ( x_1 ight )\leq f\left ( z ight )$ 和 $f\left ( x_2 ight )\leq f\left ( z ight )$

由于 f 在 $\left [ x_1,z ight ]$ 和 $\left [z,x_2 ight ] $ 中不是常数

因此存在 $u \in \left [ x_1,z ight ]$ 和 $v=\left [ z,x_2 ight ]$

$$\Rightarrow u= \mu_1x_1+\left ( 1-\mu_1 ight )z,v=\mu_2z+\left ( 1- \mu_2 ight )x_2$$

由于 f 是拟凸的，

$$\Rightarrow f\left ( u ight )\leq max\left \{ f\left ( x_1 ight ),f \left ( z ight ) ight \}=f\left ( z ight )\:\: 且 \:\:f \left ( v ight ) \leq max \left \{ f\left ( z ight ),f\left ( x_2 ight ) ight \}$$

$$\Rightarrow f\left ( u ight )\leq f\left ( z ight ) \:\: 且 \:\: f\left ( v ight )\leq f\left ( z ight )$$

$$\Rightarrow max \left \{ f\left ( u ight ),f\left ( v ight ) ight \} \leq f\left ( z ight )$$

但 z 是 u 和 v 之间的任意一点，如果它们中任何一个相等，则 f 为常数。

因此，$max \left \{ f\left ( u ight ),f\left ( v ight ) ight \} \leq f\left ( z ight )$

这与 f 当 $z \in \left [ u,v ight ]$ 时准凸性相矛盾。

因此 f 是强准凸函数。

定理

设 $f:S ightarrow \mathbb{R}^n$ 且 S 是 $\mathbb{R}^n$ 中的非空凸集。如果$\hat{x}$是局部最优解，则$\hat{x}$是唯一全局最优解。

证明

由于强拟凸函数也是严格拟凸函数，因此局部最优解就是全局最优解。

唯一性 −设 f 在两点 $u,v \in S$ 处取得全局最优解

$$\Rightarrow f\left ( u ight ) \leq f\left ( x ight ).\forall x \in S\:\: 和 \:\:f\left ( v ight ) \leq f\left ( x ight ).\forall x \in S$$

若 u 为全局最优解，则 $f\left ( u ight )\leq f\left ( v ight )$ 且 $f\left ( v ight )\leq f\left ( u ight )\Rightarrow f\left ( u ight )=f\left ( v ight )$

$$f\left ( \lambda u+\left ( 1-\lambda ight )v ight )< max \left \{f\left ( u ight ),f\left ( v ight ) ight \}=f\left ( u ight )$$

这是矛盾的。

因此，只有一个全局最优解。

备注

• 强拟凸函数也是严格拟凸函数。
• 严格凸函数可能是也可能不是强拟凸的。
• 可微严格凸是强拟凸的。