SciPy - Linalg

SciPy 是使用优化的 ATLAS LAPACK 和 BLAS 库构建的。它具有非常快速的线性代数功能。所有这些线性代数例程都需要一个可以转换为二维数组的对象。这些例程的输出也是一个二维数组。

SciPy.linalg 与 NumPy.linalg

scipy.linalg 包含 numpy.linalg 中的所有函数。此外，scipy.linalg 还具有 numpy.linalg 中没有的一些其他高级函数。与 numpy.linalg 相比，使用 scipy.linalg 的另一个优点是它始终使用 BLAS/LAPACK 支持进行编译，而对于 NumPy，这是可选的。因此，根据 NumPy 的安装方式，SciPy 版本可能会更快。

线性方程

scipy.linalg.solve 功能可求解线性方程 a * x + b * y = Z，其中 x、y 值为未知值。

例如，假设需要求解以下联立方程。

x + 3y + 5z = 10

2x + 5y + z = 8

2x + 3y + 8z = 3

要求解上述方程中的 x、y、z 值，我们可以使用矩阵逆来找到解向量，如下所示。

$$\begin{bmatrix} x\ y\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 5\ 2 & 5 & 1\ 2 & 3 & 8 \end{bmatrix}^{-1} \begin{bmatrix} 10\ 8\ 3 \end{bmatrix} = \frac{1}{25} \begin{bmatrix} -232\ 129\ 19 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -9.28\ 5.16\ 0.76 \end{bmatrix}.$$

但是，最好使用 linalg.solve 命令，该命令速度更快，数值更稳定。

solve 函数接受两个输入"a"和"b"，其中"a"表示系数，"b"表示相应的右侧值，并返回解决方案数组。

让我们考虑以下示例。

#导入 scipy 和 numpy 包
from scipy import linalg
import numpy as np

#声明 numpy 数组
a = np.array([[3, 2, 0], [1, -1, 0], [0, 5, 1]])
b = np.array([2, 4, -1])

#将值传递给 resolve 函数
x = linalg.solve(a, b)

#打印结果数组
print x

上述程序将生成以下输出。

array([ 2., -2., 9.])

查找行列式

方阵 A 的行列式通常表示为 |A|，是线性代数中经常使用的量。在 SciPy 中，这是使用 det() 函数计算的。它以矩阵作为输入并返回标量值。

让我们考虑以下示例。

#导入 scipy 和 numpy 包
from scipy import linalg
import numpy as np

#声明 numpy 数组
A = np.array([[1,2],[3,4]])

#将值传递给 det 函数
x = linalg.det(A)

#打印结果
print x

上述程序将生成以下输出。

-2.0

特征值和特征向量

特征值-特征向量问题是最常用的线性代数运算之一。我们可以通过考虑以下关系 − 来找到方阵 (A) 的特征值 (λ) 和相应的特征向量 (v)。

Av = λv

scipy.linalg.eig 根据普通或广义特征值问题计算特征值。此函数返回特征值和特征向量。

让我们考虑以下示例。

#导入 scipy 和 numpy 包
from scipy import linalg
import numpy as np

#声明 numpy 数组
A = np.array([[1,2],[3,4]])

#将值传递给 eig 函数
l, v = linalg.eig(A)

#打印特征值的结果
print l

#打印特征向量的结果
print v

上述程序将生成以下输出。

array([-0.37228132+0.j, 5.37228132+0.j]) #--Eigen Values
array([[-0.82456484, -0.41597356], #--Eigen Vectors
       [ 0.56576746, -0.90937671]])

奇异值分解

奇异值分解 (SVD) 可以看作是特征值问题对非方阵的扩展。

scipy.linalg.svd 将矩阵"a"分解为两个酉矩阵"U"和"Vh"以及奇异值(实数，非负)的一维数组"s"，使得 a == U*S*Vh，其中"S"是具有主对角线"s"的适当形状的零矩阵。

让我们考虑以下示例。

#导入 scipy 和 numpy 包
from scipy import linalg
import numpy as np

#声明 numpy 数组
a = np.random.randn(3, 2) + 1.j*np.random.randn(3, 2)

#将值传递给 eig 函数
U, s, Vh = linalg.svd(a)

#打印结果
print U, Vh, s

上述程序将生成以下输出。

(
   array([
      [ 0.54828424-0.23329795j, -0.38465728+0.01566714j,
      -0.18764355+0.67936712j],
      [-0.27123194-0.5327436j , -0.57080163-0.00266155j,
      -0.39868941-0.39729416j],
      [ 0.34443818+0.4110186j , -0.47972716+0.54390586j,
      0.25028608-0.35186815j]
   ]),

   array([ 3.25745379, 1.16150607]),

   array([
      [-0.35312444+0.j , 0.32400401+0.87768134j],
      [-0.93557636+0.j , -0.12229224-0.33127251j]
   ])
)