SciPy - 插值

在本章中，我们将讨论插值在 SciPy 中的用途。

什么是插值?

插值是在一条直线或曲线上的两点之间寻找值的过程。为了帮助我们记住它的含义，我们应该将单词的第一部分"inter"理解为"输入"，这提醒我们要查看我们最初拥有的数据的"内部"。插值这一工具不仅在统计学中很有用，在科学、商业或需要预测两个现有数据点之间的值时也很有用。

让我们创建一些数据，看看如何使用 scipy.interpolate 包进行插值。

import numpy as np
from scipy import interpolate
import matplotlib.pyplot as plt
x = np.linspace(0, 4, 12)
y = np.cos(x**2/3+4)
print x,y

上述程序将生成以下输出。

(
   array([0.,  0.36363636,  0.72727273,  1.09090909,  1.45454545, 1.81818182, 
          2.18181818,  2.54545455,  2.90909091,  3.27272727,  3.63636364,  4.]),
            
   array([-0.65364362,  -0.61966189,  -0.51077021,  -0.31047698,  -0.00715476,
           0.37976236,   0.76715099,   0.99239518,   0.85886263,   0.27994201,
          -0.52586509,  -0.99582185])
)

现在，我们有两个数组。假设这两个数组是空间中点的两个维度，让我们使用以下程序进行绘图并查看它们的样子。

plt.plot(x, y,'o')
plt.show()

上述程序将生成以下输出。

1-D 插值

scipy.interpolate 中的 interp1d 类是一种基于固定数据点创建函数的便捷方法，可以使用线性插值在给定数据定义的域内的任何位置对其进行评估。

通过使用上述数据，让我们创建一个插值函数并绘制一个新的插值图。

f1 = interp1d(x, y,kind = 'linear')

f2 = interp1d(x, y, kind = 'cubic')

使用 interp1d 函数，我们创建了两个函数 f1 和 f2。对于给定的输入 x，这两个函数返回 y。第三个变量 kind 表示插值技术的类型。'Linear'、'Nearest'、'Zero'、'Slinear'、'Quadratic'、'Cubic' 是几种插值技术。

现在，让我们创建一个更长的新输入，以查看插值的明显差异。我们将对新数据使用与旧数据相同的函数。

xnew = np.linspace(0, 4,30)

plt.plot(x, y, 'o', xnew, f(xnew), '-', xnew, f2(xnew), '--')

plt.legend(['data', 'linear', 'cubic','nearest'], loc = 'best')

plt.show()

上述程序将生成以下输出。

样条线

为了通过数据点绘制平滑曲线，绘图员曾经使用薄的柔性木条、硬橡胶、金属或塑料条(称为机械样条线)。要使用机械样条线，需要在设计中沿曲线合理选择的点上放置销钉，然后弯曲样条线，使其接触到每个销钉。

显然，通过这种构造，样条线会在这些销钉处插入曲线。它可用于在其他绘图中重现曲线。销钉所在的点称为结点。我们可以通过调整结点的位置来改变样条线定义的曲线的形状。

单变量样条线

一维平滑样条线拟合给定的一组数据点。scipy.interpolate 中的 UnivariateSpline 类是一种方便的方法，用于基于固定数据点类创建函数 - scipy.interpolate.UnivariateSpline(x, y, w = None, bbox = [None, None], k = 3, s = None, ext = 0, check_finite = False)。

参数 − 以下是单变量样条线的参数。

• 这将 k 度样条线 y = spl(x) 拟合到提供的 x、y 数据。

• 'w' −指定样条拟合的权重。必须为正数。如果没有(默认)，则权重全部相等。

• 's' − 通过指定平滑条件来指定结点数。

• 'k' − 平滑样条的次数。必须为 <= 5。默认值为 k = 3，即三次样条。

• Ext −控制不在结点序列定义的间隔内的元素的外推模式。

• 如果 ext = 0 或"extrapolate"，则返回外推值。

• 如果 ext = 1 或"zero"，则返回 0

• 如果 ext = 2 或"raise"，则引发 ValueError

• 如果 ext = 3 或"const"，则返回边界值。

• check_finite – 是否检查输入数组是否仅包含有限数字。

让我们考虑以下示例。

import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.interpolate import UnivariateSpline
x = np.linspace(-3, 3, 50)
y = np.exp(-x**2) + 0.1 * np.random.randn(50)
plt.plot(x, y, 'ro', ms = 5)
plt.show()

使用平滑参数的默认值。

spl = UnivariateSpline(x, y)
xs = np.linspace(-3, 3, 1000)
plt.plot(xs, spl(xs), 'g', lw = 3)
plt.show()

手动更改平滑量。

spl.set_smoothing_factor(0.5)
plt.plot(xs, spl(xs), 'b', lw = 3)
plt.show()