SciPy - 积分

当一个函数无法解析积分，或者解析积分非常困难时，通常会求助于数值积分方法。SciPy 有许多用于执行数值积分的例程。它们中的大多数都可以在同一个 scipy.integrate 库中找到。下表列出了一些常用函数。

单积分

Quad 函数是 SciPy 积分函数中的主力。数值积分有时也称为求积，因此得名。它通常是对函数 f(x) 在给定的从 a 到 b 的固定范围内进行单次积分的默认选择。

$$\int_{a}^{b} f(x)dx$$

quad 的一般形式是 scipy.integrate.quad(f, a, b)，其中"f"是要积分的函数的名称。而"a"和"b"分别是下限和上限。让我们看一个在 0 和 1 范围内积分的高斯函数的例子。

我们首先需要定义函数 → $f(x) = e^{-x^2}$ ，这可以使用 lambda 表达式来完成，然后在该函数上调用 quad 方法。

import scipy.integrate
from numpy import exp
f= lambda x:exp(-x**2)
i = scipy.integrate.quad(f, 0, 1)
print i

上述程序将生成以下输出。

(0.7468241328124271, 8.291413475940725e-15)

quad 函数返回两个值，其中第一个数字是积分的值，第二个值是积分值的绝对误差的估计值。

注意 − 由于 quad 需要函数作为第一个参数，因此我们不能直接传递 exp 作为参数。Quad 函数接受正无穷和负无穷作为极限。 Quad 函数可以对单个变量的标准预定义 NumPy 函数进行积分，例如 exp、sin 和 cos。

多重积分

双重和三重积分的机制已包含在函数 dblquad、tplquad 和 nquad 中。这些函数分别对四个或六个参数进行积分。所有内部积分的极限都需要定义为函数。

双重积分

dblquad 的一般形式是 scipy.integrate.dblquad(func, a, b, gfun, hfun)。其中，func 是需要积分的函数的名称，"a"和"b"分别是 x 变量的下限和上限，而 gfun 和 hfun 是定义 y 变量下限和上限的函数的名称。

作为示例，让我们执行双重积分方法。

$$\int_{0}^{1/2} dy \int_{0}^{\sqrt{1-4y^2}} 16xy \:dx$$

我们使用 lambda 表达式定义函数 f、g 和 h。请注意，即使 g 和 h 是常量(在许多情况下可能如此)，也必须将它们定义为函数，就像我们在此处对下限所做的那样。

import scipy.integrate
from numpy import exp
from math import sqrt
f = lambda x, y : 16*x*y
g = lambda x : 0
h = lambda y : sqrt(1-4*y**2)
i = scipy.integrate.dblquad(f, 0, 0.5, g, h)
print i

上述程序将生成以下输出。

(0.5, 1.7092350012594845e-14)

除了上面描述的例程之外，scipy.integrate 还有一个许多其他积分例程，包括执行 n 倍多重积分的 nquad，以及实现各种积分算法的其他例程。但是，quad 和 dblquad 可以满足我们对数值积分的大部分需求。