MATLAB - 变换

MATLAB 提供了用于处理变换的命令，例如拉普拉斯变换和傅立叶变换。变换在科学和工程中用作简化分析并从另一个角度查看数据的工具。

例如，傅立叶变换允许我们将表示为时间函数的信号转换为频率函数。拉普拉斯变换允许我们将微分方程转换为代数方程。

MATLAB 提供 laplace、fourier 和 fft 命令来处理拉普拉斯、傅里叶和快速傅里叶变换。

拉普拉斯变换

时间函数 f(t) 的拉普拉斯变换由以下积分给出 −

拉普拉斯变换也称为f(t)到F(s)的变换。您可以看到此转换或积分过程将符号变量 t 的函数 f(t) 转换为带有另一个变量 s 的另一个函数 F(s)。

拉普拉斯变换将微分方程转化为代数方程。要计算函数 f(t) 的拉普拉斯变换，请编写 −

laplace(f(t))

在此示例中，我们将计算一些常用函数的拉普拉斯变换。

创建脚本文件并输入以下代码 −

syms s t a b w

laplace(a)
laplace(t^2)
laplace(t^9)
laplace(exp(-b*t))
laplace(sin(w*t))
laplace(cos(w*t))

当您运行该文件时，它会显示以下结果 −

ans =
   1/s^2

ans =
   2/s^3

ans =
   362880/s^10

ans =
   1/(b + s)
  
ans =
   w/(s^2 + w^2)
  
ans =
   s/(s^2 + w^2)

MATLAB 允许我们使用命令 ilaplace 计算拉普拉斯逆变换。

例如，

ilaplace(1/s^3)

MATLAB 将执行上述语句并显示结果 −

ans =
   t^2/2

创建脚本文件并输入以下代码 −

syms s t a b w

ilaplace(1/s^7)
ilaplace(2/(w+s))
ilaplace(s/(s^2+4))
ilaplace(exp(-b*t))
ilaplace(w/(s^2 + w^2))
ilaplace(s/(s^2 + w^2))

当您运行该文件时，它会显示以下结果 −

ans =
   t^6/720

ans =
   2*exp(-t*w)

ans =
   cos(2*t)

ans =
   ilaplace(exp(-b*t), t, x)

ans =
   sin(t*w)

ans =
   cos(t*w)

傅立叶变换通常将时间的数学函数 f(t) 变换为新函数，有时用或 F 表示，其参数是频率，单位为周期/秒（赫兹）或弧度每秒。新函数被称为函数 f 的傅里叶变换和(或)频谱。

创建一个脚本文件并在其中键入以下代码 −

syms x 
f = exp(-2*x^2);     % 我们的函数
ezplot(f,[-2,2])     % 我们的函数图
FT = fourier(f)      % 傅里叶变换

运行该文件时，MATLAB 会绘制以下图形 −

显示如下结果 −

FT =
   (2^(1/2)*pi^(1/2)*exp(-w^2/8))/2

将傅里叶变换绘制为 −

ezplot(FT)

给出如下图 −

MATLAB 提供了 ifourier 命令来计算函数的傅里叶逆变换。例如，

f = ifourier(-2*exp(-abs(w)))

MATLAB 将执行上述语句并显示结果 −

f =
   -2/(pi*(x^2 + 1))