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MATLAB - 代数

到目前为止，我们已经看到所有示例都可以在 MATLAB 及其 GNU（也称为 Octave）中运行。 但对于求解基本代数方程，MATLAB 和 Octave 几乎没有什么不同，因此我们将尝试在不同的部分中介绍 MATLAB 和 Octave。

我们还将讨论代数表达式的因式分解和简化。

在 MATLAB 中求解基本代数方程

solve函数用于求解代数方程。 在最简单的形式中，求解函数将用引号引起来的方程作为参数。

例如，让我们求解方程 x-5 = 0 中的 x

solve('x-5=0')

MATLAB 将执行上述语句并返回以下结果 −

ans =
   5

您还可以将求解函数调用为 −

y = solve('x-5 = 0')

MATLAB 将执行上述语句并返回以下结果 −

y =
   5

您甚至可以不包括等式的右侧 −

solve('x-5')

MATLAB 将执行上述语句并返回以下结果 −

ans =
   5

如果方程涉及多个符号，则 MATLAB 默认情况下假定您正在求解 x，但是，求解函数具有另一种形式 −

solve(equation, variable)

其中，您还可以提及变量。

例如，让我们对 v 求解方程 v – u – 3t² = 0。在这种情况下，我们应该写成 −

solve('v-u-3*t^2=0', 'v')

MATLAB 将执行上述语句并返回以下结果 −

ans =
   3*t^2 + u

用 Octave 求解基本代数方程

roots函数用于求解Octave中的代数方程，您可以将上面的示例编写如下−

例如，让我们求解方程 x-5 = 0 中的 x

roots([1, -5])

Octave 将执行上面的语句并返回以下结果 −

ans = 5

您还可以将求解函数调用为 −

y = roots([1, -5])

Octave 将执行上面的语句并返回以下结果 −

y = 5

在 MATLAB 中求解二次方程

solve函数还可以求解高阶方程。 它经常用于求解二次方程。 该函数以数组形式返回方程的根。

以下示例求解二次方程 x² -7x +12 = 0。创建一个脚本文件并键入以下代码 −

eq = 'x^2 -7*x + 12 = 0';
s = solve(eq);
disp('The first root is: '), disp(s(1));
disp('The second root is: '), disp(s(2));

当您运行该文件时，它会显示以下结果 −

The first root is: 
   3
The second root is: 
   4

用 Octave 求解二次方程

以下示例在 Octave 中求解二次方程 x² -7x +12 = 0。 创建一个脚本文件并输入以下代码 −

s = roots([1, -7, 12]);

disp('The first root is: '), disp(s(1));
disp('The second root is: '), disp(s(2));

当您运行该文件时，它会显示以下结果 −

The first root is: 
   4
The second root is: 
   3

在 MATLAB 中求解高阶方程

solve函数还可以求解高阶方程。 例如，我们将三次方程解为 (x-3)²(x-7) = 0

solve('(x-3)^2*(x-7)=0')

MATLAB 将执行上述语句并返回以下结果 −

ans =
   3
   3
   7

对于高阶方程，根很长，包含许多项。 您可以通过将这些根转换为双精度来获得它们的数值。 以下示例求解四阶方程 x⁴ − 7x³ + 3x² − 5x + 9 = 0。

创建脚本文件并输入以下代码 −

eq = 'x^4 - 7*x^3 + 3*x^2 - 5*x + 9 = 0';
s = solve(eq);
disp('The first root is: '), disp(s(1));
disp('The second root is: '), disp(s(2));
disp('The third root is: '), disp(s(3));
disp('The fourth root is: '), disp(s(4));

% converting the roots to double type
disp('Numeric value of first root'), disp(double(s(1)));
disp('Numeric value of second root'), disp(double(s(2)));
disp('Numeric value of third root'), disp(double(s(3)));
disp('Numeric value of fourth root'), disp(double(s(4)));

当您运行该文件时，它会返回以下结果 −

The first root is: 
6.630396332390718431485053218985
 The second root is: 
1.0597804633025896291682772499885
 The third root is: 
- 0.34508839784665403032666523448675 - 1.0778362954630176596831109269793*i
 The fourth root is: 
- 0.34508839784665403032666523448675 + 1.0778362954630176596831109269793*i
Numeric value of first root
   6.6304
Numeric value of second root
   1.0598
Numeric value of third root
   -0.3451 - 1.0778i
Numeric value of fourth root
   -0.3451 + 1.0778i

请注意，最后两个根是复数。

用 Octave 求解高阶方程

以下示例求解四阶方程 x⁴ − 7x³ + 3x² − 5x + 9 = 0。

创建脚本文件并输入以下代码 −

v = [1, -7,  3, -5, 9];
s = roots(v);

% 将根转换为 double 类型
disp('Numeric value of first root'), disp(double(s(1)));
disp('Numeric value of second root'), disp(double(s(2)));
disp('Numeric value of third root'), disp(double(s(3)));
disp('Numeric value of fourth root'), disp(double(s(4)));

当您运行该文件时，它会返回以下结果 −

Numeric value of first root
 6.6304
Numeric value of second root
-0.34509 + 1.07784i
Numeric value of third root
-0.34509 - 1.07784i
Numeric value of fourth root
 1.0598

在 MATLAB 中求解方程组

solve 函数还可用于生成涉及多个变量的方程组的解。 让我们举一个简单的例子来演示这种用法。

让我们解方程 −

5x + 9y = 5

3x – 6y = 4

创建脚本文件并输入以下代码 −

s = solve('5*x + 9*y = 5','3*x - 6*y = 4');
s.x
s.y

当您运行该文件时，它会显示以下结果 −

ans =
   22/19
ans =
   -5/57

以同样的方式，您可以求解更大的线性系统。 考虑以下方程组 −

x + 3y -2z = 5

3x + 5y + 6z = 7

2x + 4y + 3z = 8

Octave 方程组求解

我们有一个稍微不同的方法来求解"n"个未知数中的"n"个线性方程组。 让我们举一个简单的例子来演示这种用法。

让我们解方程 −

5x + 9y = 5

3x – 6y = 4

这样的线性方程组可以写成单矩阵方程 Ax = b，其中 A 是系数矩阵，b 是包含线性方程右侧的列向量，x 是表示解的列向量，如下面的程序所示 −

创建脚本文件并输入以下代码 −

A = [5, 9; 3, -6];
b = [5;4];
A \ b

当您运行该文件时，它会显示以下结果 −

ans =

   1.157895
  -0.087719

以同样的方式，您可以求解更大的线性系统，如下所示 −

x + 3y -2z = 5

3x + 5y + 6z = 7

2x + 4y + 3z = 8

在 MATLAB 中展开和收集方程

expand 和 collect 函数分别扩展和收集方程。 下面的例子演示了这些概念 −

当您使用许多符号函数时，您应该声明您的变量是符号的。

创建脚本文件并输入以下代码 −

syms x   %符号变量 x
syms y   %符号变量 y
% expanding equations
expand((x-5)*(x+9))
expand((x+2)*(x-3)*(x-5)*(x+7))
expand(sin(2*x))
expand(cos(x+y))
 
% collecting equations
collect(x^3 *(x-7))
collect(x^4*(x-3)*(x-5))

当您运行该文件时，它会显示以下结果 −

ans =
   x^2 + 4*x - 45
ans =
   x^4 + x^3 - 43*x^2 + 23*x + 210
ans =
   2*cos(x)*sin(x)
ans =
   cos(x)*cos(y) - sin(x)*sin(y)
ans =
   x^4 - 7*x^3
ans =
   x^6 - 8*x^5 + 15*x^4

在 Octave 中展开和收集方程

您需要有symbolic包，它提供了expand和collect函数来分别展开和收集方程。 下面的例子演示了这些概念 −

当您使用许多符号函数时，您应该声明您的变量是符号变量，但 Octave 有不同的方法来定义符号变量。 请注意 Sin 和 Cos 的使用，它们也在符号包中定义。

创建脚本文件并输入以下代码 −

% 首先加载包，确保其已安装。
pkg load symbolic

% 使符号模块可用
symbols

% 定义符号变量
x = sym ('x');
y = sym ('y');
z = sym ('z');

% expanding equations
expand((x-5)*(x+9))
expand((x+2)*(x-3)*(x-5)*(x+7))
expand(Sin(2*x))
expand(Cos(x+y))
 
% collecting equations
collect(x^3 *(x-7), z)
collect(x^4*(x-3)*(x-5), z)

当您运行该文件时，它会显示以下结果 −

ans =

-45.0+x^2+(4.0)*x
ans =

210.0+x^4-(43.0)*x^2+x^3+(23.0)*x
ans =

sin((2.0)*x)
ans =

cos(y+x)
ans =

x^(3.0)*(-7.0+x)
ans =

(-3.0+x)*x^(4.0)*(-5.0+x)

代数表达式的因式分解和化简

factor 函数对表达式进行因式分解，simplify 函数对表达式进行简化。 下面的例子演示了这个概念 −

示例

创建脚本文件并输入以下代码 −

syms x
syms y
factor(x^3 - y^3)
factor([x^2-y^2,x^3+y^3])
simplify((x^4-16)/(x^2-4))

当您运行该文件时，它会显示以下结果 −

ans =
   (x - y)*(x^2 + x*y + y^2)
ans =
   [ (x - y)*(x + y), (x + y)*(x^2 - x*y + y^2)]
ans =
   x^2 + 4

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