MATLAB - 微积分

MATLAB 提供了多种解决微分和积分问题、求解任意阶微分方程以及计算极限的方法。 最重要的是，您可以轻松绘制复杂函数的图形，并通过求解原始函数及其导数来检查图形上的最大值、最小值和其他固定点。

本章将讨论微积分问题。 在本章中，我们将讨论微积分前的概念，即计算函数的极限并验证极限的性质。

在下一章微分中，我们将计算表达式的导数并找到图上的局部最大值和最小值。 我们还将讨论微分方程的求解。

最后，在积分章节中，我们将讨论积分。

计算限制

MATLAB 提供了 limit 函数来计算限制。 在最基本的形式中，limit 函数将表达式作为参数，并在自变量变为零时找到表达式的极限。

例如，让我们计算函数 f(x) = (x³ + 5)/(x⁴ + 7) 的极限，因为 x 趋于零。

syms x
limit((x^3 + 5)/(x^4 + 7))

MATLAB 将执行上述语句并返回以下结果 −

ans =
   5/7

极限函数属于符号计算领域； 您需要使用 syms 函数告诉 MATLAB 您正在使用哪些符号变量。您还可以计算函数的极限，因为变量趋于零以外的某个数字。 为了计算 lim _x->a(f(x))，我们使用带有参数的 limit 命令。第一个是表达式，第二个是数字，x 接近，这里是a。

例如，让我们计算函数 f(x) = (x-3)/(x-1) 的极限，因为 x 趋于 1。

limit((x - 3)/(x-1),1)

MATLAB 将执行上述语句并返回以下结果 −

ans =
   NaN

我们再举一个例子

limit(x^2 + 5, 3)

MATLAB 将执行上述语句并返回以下结果 −

ans =
   14

使用 Octave 计算限制

以下是使用symbolic包的上述示例的Octave版本，尝试执行并比较结果 −

pkg load symbolic
symbols

x = sym("x");
subs((x^3+5)/(x^4+7),x,0)

Octave 将执行上面的语句并返回以下结果 −

ans =
   0.7142857142857142857

极限基本属性的验证

代数极限定理提供了极限的一些基本性质。 这些如下 −

让我们考虑两个函数 −

• f(x) = (3x + 5)/(x - 3)
• g(x) = x² + 1.

让我们计算两个函数在 x 趋于 5 时的极限，并使用这两个函数和 MATLAB 验证极限的基本属性。

示例

创建一个脚本文件并在其中键入以下代码 −

syms x
f = (3*x + 5)/(x-3);
g = x^2 + 1;
l1 = limit(f, 4)
l2 = limit (g, 4)
lAdd = limit(f + g, 4)
lSub = limit(f - g, 4)
lMult = limit(f*g, 4)
lDiv = limit (f/g, 4)

当您运行该文件时，它会显示 −

l1 =
   17
  
l2 =
   17
  
lAdd =
   34
 
lSub =
   0
  
lMult =
   289
  
lDiv =
   1

使用 Octave 验证极限的基本属性

以下是使用symbolic包的上述示例的Octave版本，尝试执行并比较结果 −

pkg load symbolic
symbols

x = sym("x");
f = (3*x + 5)/(x-3);
g = x^2 + 1;

l1 = subs(f, x, 4)
l2 = subs (g, x, 4)
lAdd = subs (f+g, x, 4)
lSub = subs (f-g, x, 4)
lMult = subs (f*g, x, 4)
lDiv = subs (f/g, x, 4)

Octave 将执行上面的语句并返回以下结果 −

l1 =
   17.0
l2 =
   17.0
lAdd =
   34.0
lSub =
   0.0
lMult =
   289.0
lDiv =
   1.0

左侧和右侧限制

当函数对于变量的某些特定值存在不连续性时，该点不存在极限。 换句话说，当 x 从左侧接近 x 时的极限值不等于 x 从右侧接近时的极限值时，函数 f(x) 的极限在 x = a 处具有不连续性。

这就引出了左手极限和右手极限的概念。 左手极限定义为极限为 x -> a，从左侧开始，即，对于 x < a 的值，x 接近 a。右手极限定义为 x -> a 的极限，从右侧开始，即，对于 x > a 的值，x 接近 a。 当左手极限和右手极限不相等时，极限不存在。

让我们考虑一个函数 −

f(x) = (x - 3)/|x - 3|

我们将证明 lim_x->3 f(x) 不存在。 MATLAB 通过两种方式帮助我们确定这一事实 −

• 通过绘制函数图形并显示不连续性。
• 通过计算极限并显示两者不同。

通过将字符串"left"和"right"作为最后一个参数传递给 limit 命令来计算左手和右手限制。

示例

创建一个脚本文件并在其中键入以下代码 −

f = (x - 3)/abs(x-3);
ezplot(f,[-1,5])
l = limit(f,x,3,'left')
r = limit(f,x,3,'right')

当您运行该文件时，MATLAB 会绘制以下图

显示以下输出后 −

l =
   -1
  
r =
   1