计算机图形曲线
在计算机图形学中，我们经常需要在屏幕上绘制不同类型的对象。对象并不总是平坦的，我们需要多次绘制曲线才能绘制一个对象。
曲线类型
曲线是一组无限大的点。每个点除了端点外都有两个邻居。曲线大致可分为三类：显式曲线、隐式曲线和参数曲线。
隐式曲线
隐式曲线表示通过采用可以测试某个点是否在曲线上的程序来定义曲线上的点集。通常，隐式曲线由形式为 − 的隐式函数定义。
f(x, y) = 0
它可以表示多值曲线（一个 x 值有多个 y 值）。一个常见的例子是圆，其隐式表示为
x2 + y2 - R2 = 0
显式曲线
数学函数 y = f(x) 可以绘制为曲线。这样的函数是曲线的显式表示。显式表示并不通用，因为它不能表示垂直线并且也是单值的。对于 x 的每个值，函数通常只计算一个 y 值。
参数曲线
具有参数形式的曲线称为参数曲线。只有当函数已知时，才能使用显式和隐式曲线表示。在实践中，使用参数曲线。二维参数曲线具有以下形式 −
P(t) = f(t), g(t) 或 P(t) = x(t), y(t)
函数 f 和 g 成为曲线上任意点的 (x, y) 坐标，当参数 t 在某个区间 [a, b] 上变化时，通常为 [0, 1]，即可获得这些点。
贝塞尔曲线
贝塞尔曲线是由法国工程师 Pierre Bézier 发现的。这些曲线可以在其他点的控制下生成。利用控制点的近似切线来生成曲线。贝塞尔曲线可以用数学表示为 −
$$\sum_{k=0}^{n} P_{i}{B_{i}^{n}}(t)$$
其中 $p_{i}$ 是点集，${B_{i}^{n}}(t)$ 表示 Bernstein 多项式，其公式为 −
$${B_{i}^{n}}(t) = \binom{n}{i} (1 - t)^{n-i}t^{i}$$
其中 n 是多项式次数，i 是指标，t 是变量。
最简单的贝塞尔曲线是从点 $P_{0}$ 到 $P_{1}$ 的直线。二次贝塞尔曲线由三个控制点确定。三次贝塞尔曲线由四个控制点确定。
贝塞尔曲线的属性
贝塞尔曲线具有以下属性 −
它们通常遵循控制多边形的形状，该多边形由连接控制点的线段组成。
它们总是经过第一个和最后一个控制点。
它们包含在其定义控制点的凸包中。
定义曲线段的多项式的次数比定义多边形点的数量少一。因此，对于 4 个控制点，多项式的次数为 3，即三次多项式。
贝塞尔曲线通常遵循定义多边形的形状。
端点处的切向量方向与第一段和最后一段确定的向量方向相同。
贝塞尔曲线的凸包属性可确保多项式平滑地跟随控制点。
没有直线与贝塞尔曲线的相交次数多于它与控制多边形的相交次数。
它们在仿射变换下不变。
贝塞尔曲线表现出全局控制，这意味着移动控制点会改变整个曲线的形状。
给定的贝塞尔曲线可以在点 t=t0 处细分为两个贝塞尔在对应于参数值 t=t0 的点处连接在一起的线段。
B 样条曲线
由伯恩斯坦基函数生成的贝塞尔曲线灵活性有限。
首先，指定的多边形顶点数量固定了定义曲线的结果多项式的阶数。
第二个限制特性是混合函数的值对于整个曲线上的所有参数值都非零。
B 样条基包含伯恩斯坦基作为特例。 B样条基是非全局的。
B样条曲线定义为控制点Pi和B样条基函数$N_{i,}$k(t)的线性组合，其公式为
$C(t) = \sum_{i=0}^{n}P_{i}N_{i,k}(t),$ $n\geq k-1,$ $t\: \epsilon \: [ tk-1,tn+1 ]$
其中，
{$p_{i}$: i=0, 1, 2….n}为控制点
k为多项式段的阶B 样条曲线。阶数为 k 表示曲线由阶数为 k - 1 的分段多项式段组成，
$N_{i,k}(t)$ 是"归一化 B 样条混合函数"。它们由阶数为 k 且由通常称为"结点序列"的非递减实数序列描述。
$${t_{i}:i = 0, ... n + K}$$
Ni, k 函数描述如下 −
$$N_{i,1}(t) = \left\{\begin{matrix} 1,& if \:u \: \epsilon \: [t_{i,}t_{i+1}) \ 0,& Otherwise \end{matrix} ight.$$
并且如果 k > 1，
$$N_{i,k}(t) = \frac{t-t_{i}}{t_{i+k-1}} N_{i,k-1}(t) + \frac{t_{i+k}-t}{t_{i+k} - t_{i+1}} N_{i+1,k-1}(t)$$
并且
$$t \: \epsilon \: [t_{k-1},t_{n+1})$$
B 样条曲线的性质
B 样条曲线具有以下性质 −
对于任何参数值，B 样条基函数之和为 1。
对于所有参数值，每个基函数均为正或零。
每个基函数都恰好有一个最大值，k=1 除外。
曲线的最大阶等于定义多边形的顶点数。
B 样条多项式的次数与定义多边形的顶点数无关。
B 样条允许对曲线表面进行局部控制，因为每个顶点仅在其相关基函数非零的参数值范围内影响曲线的形状。
曲线表现出变化减小的特性。
曲线通常遵循定义多边形的形状。
任何仿射变换都可以通过将其应用于定义多边形的顶点来应用于曲线。
其定义多边形凸包内的曲线。
