拟凸函数和拟凹函数

设 $f:S ightarrow \mathbb{R}$，其中 $S \subset \mathbb{R}^n$ 为非空凸集。如果对于每个 $x_1,x_2 \in S$，都有 $f\left ( \lambda x_1+\left ( 1-\lambda ight )x_2 ight )\leq max\left \{ f\left ( x_1 ight ),f\left ( x_2 ight ) ight \},\lambda \in \left ( 0, 1 ight )$

例如，$f\left ( x ight )=x^{3}$

设 $f:S ightarrow R $，其中 $S\subset \mathbb{R}^n$ 为非空凸集。如果对于每个 $x_1, x_2 \in S$，我们有 $f\left ( \lambda x_1+\left ( 1-\lambda ight )x_2 ight )\geq min\left \{ f\left ( x_1 ight ),f\left ( x_2 ight ) ight \}, \lambda \in \left ( 0, 1 ight )$，则函数 f 被称为拟凸函数。

备注

• 每个凸函数都是拟凸函数，但反之则不成立。
• 既是拟凸函数又是拟凹函数的函数称为拟单调函数。

定理

设 $f:S ightarrow \mathbb{R}$且 S 是 $\mathbb{R}^n$ 中的非空凸集。函数 f 是拟凸函数当且仅当 $S_{\alpha} =\left ( x \in S:f\left ( x ight )\leq \alpha ight \}$ 对于每个实数 \alpha$ 都是凸函数

证明

设 f 在 S 上是拟凸函数。

设 $x_1,x_2 \in S_{\alpha}$ 因此 $x_1,x_2 \in S$ 且 $max \left \{ f\left ( x_1 ight ),f\left ( x_2 ight ) ight \}\leq \alpha$

设 $\lambda \in \left (0, 1 ight )$ 且设 $x=\lambda x_1+\left ( 1-\lambda ight )x_2\leq max \left \{ f\left ( x_1 ight ),f\left ( x_2 ight ) ight \}\Rightarrow x \in S$

因此，$f\left ( \lambda x_1+\left ( 1-\lambda ight )x_2 ight )\leq max\left \{ f\left ( x_1 ight ), f\left ( x_2 ight ) ight \}\leq \alpha$

因此，$S_{\alpha}$ 是凸的。

逆

设 $S_{\alpha}$ 对每个 $\alpha$ 都是凸的

$x_1,x_2 \in S, \lambda \in \left ( 0,1 ight )$

$x=\lambda x_1+\left ( 1-\lambda ight )x_2$

设 $x=\lambda x_1+\left ( 1-\lambda ight )x_2$

对于 $x_1, x_2 \in S_{\alpha}, \alpha= max \left \{ f\left ( x_1 ight ), f\left ( x_2 ight ) ight \}$

$\Rightarrow \lambda x_1+\left (1-\lambda ight )x_2 \in S_{\alpha}$

$\Rightarrow f \left (\lambda x_1+\left (1-\lambda ight )x_2 ight )\leq \alpha$

由此可证。

定理

设 $f:S ightarrow \mathbb{R}$，S 是 $\mathbb{R}^n$ 中的非空凸集。函数 f 为拟凹函数当且仅当 $S_{\alpha} =\left \{ x \in S:f\left ( x ight )\geq \alpha ight \}$ 对每个实数 $\alpha$ 都是凸函数。

定理

设 $f:S ightarrow \mathbb{R}$，S 是 $\mathbb{R}^n$ 中的非空凸集。函数 f 是拟单调的当且仅当 $S_{\alpha} =\left \{ x \in S:f\left ( x ight )= \alpha ight \}$ 对于每个实数 $\alpha$ 都是凸的。