凸优化 - 最小值和最大值

局部最小值或最小化

如果 $f\left ( \bar{x} ight )\leq f\left ( x ight ),\forall x \in N_\varepsilon \left ( \bar{x} ight )$，其中 $N_\varepsilon \left ( \bar{x} ight )$ 表示 $\bar{x}$ 的邻域，即 $N_\varepsilon \left ( \bar{x} ight )$ 表示 $\left \|，则 $\bar{x}\in \:S$ 被称为函数 $f$ 的局部最小值x-\bar{x} ight \|< \varepsilon$

局部最大值或最大化器

如果 $f\left ( \bar{x} ight )\geq f\left ( x ight ), \forall x \in N_\varepsilon \left ( \bar{x} ight )$，则称 $\bar{x}\in \:S$ 为函数 $f$ 的局部最大值，其中 $N_\varepsilon \left ( \bar{x} ight )$ 表示 $\bar{x}$ 的邻域，即 $N_\varepsilon \left ( \bar{x} ight )$ 表示 $\left \| x-\bar{x} ight \|< \varepsilon$

全局最小值

如果 $f\left ( \bar{x} ight )\leq f\left ( x ight ), \forall x \in S$，则 $\bar{x}\in \:S$ 被称为函数 $f$ 的全局最小值

全局最大值

如果 $f\left ( \bar{x} ight )\geq f\left ( x ight ), \forall x \in S$，则 $\bar{x}\in \:S$ 被称为函数 $f$ 的全局最大值

示例

步骤 1 −找到 $f\left ( \bar{x} ight )=\left | x^2-4 ight |$ 的局部最小值和最大值

解决方案 −

从上述函数的图中可以清楚地看出，局部最小值出现在 $x= \pm 2$ 处，局部最大值出现在 $x = 0$ 处

步骤 2 − 找到函数 $f\left (x ight )=\left | 的全局最小值4x^3-3x^2+7 ight |$

解决方案 −

从上述函数的图中可以清楚地看出，全局最小值出现在 $x=-1$ 处。