凸优化 - 仿射集

如果对于任意两个不同的点，经过这两个点的直线位于集合 $A$ 中，则集合 $A$ 被称为仿射集。

注意 −

• 当且仅当 $S$ 包含其点的每个仿射组合时，它才是仿射集。

• 空集和单集既是仿射集又是凸集。

  例如，线性方程的解就是仿射集。

证明

设 S 为线性方程的解。

根据定义，$S=\left \{ x \in \mathbb{R}^n:Ax=b ight \}$

设 $x_1,x_2 \in S\Rightarrow Ax_1=b$ 且 $Ax_2=b$

证明：$A\left [ heta x_1+\left ( 1- heta ight )x_2 ight ]=b, \forall heta \in\left ( 0,1 ight )$

$A\left [ heta x_1+\left ( 1- heta ight )x_2 ight ]= heta Ax_1+\left ( 1- heta ight )Ax_2= heta b+\left ( 1- heta ight )b=b$

因此 S 是仿射集。

定理

若 $C$ 是仿射集且 $x_0 \in C$，则集合 $V= C-x_0=\left \{ x-x_0:x \in C ight \}$ 是 C 的一个子空间。

证明

设 $x_1,x_2 \in V$

为了证明：对于某些 $\alpha,\beta$，$\alpha x_1+\beta x_2 \in V$

现在，根据 V 的定义，$x_1+x_0 \in C$ 和 $x_2+x_0 \in C$

现在，$\alpha x_1+\beta x_2+x_0=\alpha \left ( x_1+x_0 ight )+\beta \left ( x_2+x_0 ight )+\left ( 1-\alpha -\beta ight )x_0$

但 $\alpha \left ( x_1+x_0 ight )+\beta \left ( x_2+x_0 ight )+\left ( 1-\alpha -\beta ight )x_0 \in C$ 因为 C 是仿射集。

因此，$\alpha x_1+\beta x_2 \in V$

由此证明。