凸优化 - 锥体

如果 $x \in C\Rightarrow \lambda x \in C \forall \lambda \geq 0$，则称 $\mathbb{R}^n$ 中的非空集 C 为顶点为 0 的锥体。

如果集合 C 既是锥体又是凸的，则它为凸锥体。

例如，$y=\left | x ight |$ 不是凸锥体，因为它不是凸的。

但是，$y \geq \left | x ight |$ 是凸锥体，因为它既是锥体又是凸的。

注意 −锥体 C 是凸的当且仅当对于任何 $x,y \in C, x+y \in C$。

证明

由于 C 是锥体，对于 $x,y \in C \Rightarrow \lambda x \in C$ 和 $\mu y \in C \:\forall \:\lambda, \mu \geq 0$

若 $\lambda x + \left ( 1-\lambda ight )y \in C \:\forall \:\lambda \in \left ( 0, 1 ight )$，则 C 是凸的

由于 C 是锥体，$\lambda x \in C$ 和 $\left ( 1-\lambda ight )y \in C \Leftrightarrow x,y \in C$

因此，如果 $x+y \in C$，则 C 是凸的

一般而言，如果 $x_1,x_2 \in C$，则 $\lambda_1x_1+\lambda_2x_2 \in C, \forall \lambda_1,\lambda_2 \geq 0$

示例

• $\mathbb{R}^n$ 中无限向量集的圆锥组合是凸锥。

• 任何空集都是凸锥。

• 任何线性函数都是凸锥。

• 由于超平面是线性的，因此它也是凸锥。

• 闭半空间也是凸锥。

注意 − 两个凸锥的交点是凸锥，但它们的并集可能是也可能不是凸锥。