伪凸函数

设 $f:S ightarrow \mathbb{R}$ 为可微函数，S 为 $\mathbb{R}^n$ 中的非空凸集，则如果对于每个 $x_1,x_2 \in S$，且 $\bigtriangledown f\left ( x_1 ight )^T\left ( x_2-x_1 ight )\geq 0$，则 f 称为伪凸函数，我们有 $f\left ( x_2 ight )\geq f\left ( x_1 ight )$，或者等效地，如果 $f\left ( x_1 ight )>f\left ( x_2 ight )$，则 $\bigtriangledown f\left ( x_1 ight )^T\left ( x_2-x_1 ight )<0$

伪凹函数

设 $f:S ightarrow \mathbb{R}$ 为可微函数，S 为 $\mathbb{R}^n$ 中的非空凸集，则如果对于每个 $x_1, x_2 \in S$ 且 $\bigtriangledown f\left ( x_1 ight )^T\left ( x_2-x_1 ight )\geq 0$，则 f 称为伪凸函数，我们有 $f\left ( x_2 ight )\leq f\left ( x_1 ight )$，或者等效地，如果 $f\left ( x_1 ight )>f\left ( x_2 ight )$ 则 $\bigtriangledown f\left ( x_1 ight )^T\left ( x_2-x_1 ight )>0$

备注

• 如果一个函数既是伪凸函数又是伪凹函数，则称其为伪线性函数。

• 可微分凸函数也是伪凸函数。

• 伪凸函数可能不是凸函数。例如，

  $f\left ( x ight )=x+x^3$ 不是凸函数。如果 $x_1 \leq x_2,x_{1}^{3} \leq x_{2}^{3}$

  因此，$\bigtriangledown f\left ( x_1 ight )^T\left ( x_2-x_1 ight )=\left ( 1+3x_{1}^{2} ight )\left ( x_2-x_1 ight ) \geq 0$

  并且，$f\left ( x_2 ight )-f\left ( x_1 ight )=\left ( x_2-x_1 ight )+\left ( x_{2}^{3} -x_{1}^{3} ight )\geq 0$

  $\Rightarrow f\left ( x_2 ight )\geq f\left ( x_1 ight )$

  因此，它是伪凸的。

  伪凸函数严格是拟凸的。因此，伪凸函数的每个局部极小值也是全局极小值。

严格伪凸函数

设 $f:S ightarrow \mathbb{R}$ 为可微函数，S 为 $\mathbb{R}^n$ 中的非空凸集，则如果对于每个 $x_1,x_2 \in S$ 且 $\bigtriangledown f\left ( x_1 ight )^T\left ( x_2-x_1 ight )\geq 0$，有 $f\left ( x_2 ight )> f\left ( x_1 ight )$，或者等效地，如果 $f\left ( x_1 ight )\geq f\left ( x_2 ight )$ 则 $\bigtriangledown f\left ( x_1 ight )^T\left ( x_2-x_1 ight )<0$

定理

设f为伪凸函数，设$\bigtriangledown f\left ( \hat{x} ight )=0$对某个$\hat{x} \in S$，则$\hat{x}$为f在S上的全局最优解。

证明

设$\hat{x}$为f的一个临界点，即$\bigtriangledown f\left ( \hat{x} ight )=0$

由于f为伪凸函数，对$x \in S$有

$$\bigtriangledown f\left ( \hat{x} ight )\left ( x-\hat{x} ight )=0 \Rightarrow f\left ( \hat{x} ight )\leq f\left ( x ight ), \forall x \in S$$

因此，$\hat{x}$为全局最优解。

备注

若f为严格伪凸函数，则$\hat{x}$为唯一全局最优解。

定理

若f为S上的可微伪凸函数，则f既为严格拟凸函数，又为拟凸函数。

备注

• 在$\mathbb{R}^n$的开集S上定义的两个伪凸函数之和可能不是伪凸函数。

• 设$f:S ightarrow \mathbb{R}$为拟凸函数，且 S 为 $\mathbb{R}^n$ 的非空凸子集，则当且仅当每个临界点都是 S 上 f 的全局最小值时，f 才是伪凸函数。

• 设 S 为 $\mathbb{R}^n$ 的非空凸子集，且 $f:S ightarrow \mathbb{R}$ 为满足以下条件的函数：对于每个 $x \in S$，$\bigtriangledown f\left ( x ight ) eq 0$，则当且仅当 f 为拟凸函数时，f 才是伪凸函数。