凸优化 - 内积

内积是一个将标量赋予一对向量的函数。

内积 − $f:\mathbb{R}^n imes \mathbb{R}^n ightarrow \kappa$ 其中 $\kappa$ 为标量。

内积的基本特征如下 −

设 $X \in \mathbb{R}^n$

$\left \langle x,x ight angle\geq 0, \forall x \in X$
$\left \langle x,x ight angle=0\Leftrightarrow x=0, \forall x \in X$
$\left \langle \alpha x,y ight angle=\alpha \left \langle x,y ight angle,\forall \alpha \in \kappa \: 和\: \forall x,y \in X$
$\left \langle x+y,z ight angle =\left \langle x,z ight angle +\left \langle y,z ight angle, \forall x,y,z \in X$
$\left \langle \overline{y,x} ight angle=\left ( x,y ight ), \forall x, y \in X$

注意 −

范数与内积的关系：$\left \| x ight \|=\sqrt{\left ( x,x ight )}$
$\forall x,y \in \mathbb{R}^n,\left \langle x,y ight angle=x_1y_1+x_2y_2+...+x_ny_n$

示例

1.求 $x=\left ( 1,2,1 ight )\: 和 \: y=\left ( 3,-1,3 ight )$ 的内积

$\left \langle x,y ight angle =x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3$

$\left \langle x,y ight angle=\left ( 1 imes3 ight )+\left ( 2 imes-1 ight )+\left ( 1 imes3 ight )$

$\left \langle x,y ight angle=3+\left ( -2 ight )+3$

$\left \langle x,y ight angle=4$

2.如果 $x=\left ( 4,9,1 ight ),y=\left ( -3,5,1 ight )$ 且 $z=\left ( 2,4,1 ight )$，求 $\left ( x+y,z ight )$

我们知道，$\left \langle x+y,z ight angle=\left \langle x,z ight angle+\left \langle y,z ight angle$

$\left \langle x+y,z ight angle=\left ( x_1z_1+x_2z_2+x_3z_3 ight )+\left ( y_1z_1+y_2z_2+y_3z_3 ight )$

$\left \langle x+y,z 视角角=\left \{ \left ( 4 imes 2 视角 )+\left ( 9 imes 4 视角 )+\left ( 1 imes1 视角 ) 视角 \}+$

$\left \{ \left ( -3 imes2 视角 )+\left ( 5 imes4 视角 )+\left ( 1 imes 1 视角 ) 视角 \}$

$\left \langle x+y,z 视角角=\left ( 8+36+1 视角 )+\left ( -6+20+1 视角 )$

$\left \langle x+y,z 视角角=45+15$

$\left \langle x+y,z 视角角度=60$