微分器和积分器

执行微分和积分等数学运算的电子电路分别称为微分器和积分器。

本章详细讨论了基于运算放大器的微分器和积分器。请注意，这些也属于运算放大器的线性应用。

微分器

微分器是一种电子电路，其产生的输出等于其输入的一阶导数。本节详细讨论了基于运算放大器的微分器。

基于运算放大器的微分器产生的输出等于施加到其反相端的输入电压的微分。基于运算放大器的微分器的电路图如下图所示 −

在上述电路中，运算放大器的非反相输入端接地。这意味着其非反相输入端施加了零伏电压。

根据虚拟短路概念，运算放大器反相输入端的电压将等于其非反相输入端的电压。因此，运算放大器反相输入端的电压将为零伏。

反相输入端节点的节点方程为 −

$$C\frac{ ext{d}(0-V_{i})}{ ext{d}t}+\frac{0-V_0}{R}=0$$

$$=>-C\frac{ ext{d}V_{i}}{ ext{d}t}=\frac{V_0}{R}$$

$$=>V_{0}=-RC\frac{ ext{d}V_{i}}{ ext{d}t}$$

如果 $RC=1\sec$，则输出电压 $V_{0}$ 将为 −

$$V_{0}=-\frac{ ext{d}V_{i}}{ ext{d}t}$$

因此，当电阻器和电容器的阻抗大小互为倒数时，上面显示的基于运算放大器的微分器电路将产生一个输出，该输出是输入电压 $V_{i}$ 的微分。

请注意，输出电压 $V_{0}$ 具有负号，这表明输入和输出之间存在 180⁰ 的相位差。

积分器 是一种电子电路，它产生的输出是所施加输入的积分。本节讨论基于运算放大器的积分器。

基于运算放大器的积分器产生的输出是施加到其反相端的输入电压的积分。基于运算放大器的积分器的电路图如下图所示 −

在上图所示的电路中，运算放大器的非反相输入端接地。这意味着其非反相输入端施加了零伏电压。

根据虚拟短路概念，运算放大器反相输入端的电压将等于其非反相输入端的电压。因此，运算放大器反相输入端的电压将为零伏。

反相输入端的节点方程为 −

$$\frac{0-V_i}{R}+C\frac{ ext{d}(0-V_{0})}{ ext{d}t}=0$$

$$=>\frac{-V_i}{R}=C\frac{ ext{d}V_{0}}{ ext{d}t}$$

$$=>\frac{ ext{d}V_{0}}{ ext{d}t}=-\frac{V_i}{RC}$$

$$=>{d}V_{0}=\left(-\frac{V_i}{RC} ight){ ext{d}t}$$

对上述等式的两边进行积分，我们得到 −

$$\int{d}V_{0}=\int\left(-\frac{V_i}{RC} ight){ ext{d}t}$$

$$=>V_{0}=-\frac{1}{RC}\int V_{t}{ ext{d}t}$$

如果 $RC=1\sec$，则输出电压 $V_{0}$ 将为 −

$$V_{0}=-\int V_{i}{ ext{d}t}$$

因此，当电阻和电容的阻抗大小为互为倒数。

注意 − 输出电压 $V_{0}$ 带有负号，表示输入和输出之间存在 180⁰ 的相位差。