磁场中存储的能量

在上一章中，我们讨论了在机电能量转换装置中，电气系统和机械系统之间存在耦合介质。在大多数实际装置中，磁场被用作耦合介质。因此，机电能量转换装置包括电磁系统。因此，耦合介质中存储的能量以磁场的形式存在。我们可以计算机电能量转换系统磁场中存储的能量，如下所述。

考虑一个线圈，该线圈有N圈导线缠绕在磁芯上，如图 1 所示。该线圈由 v 伏电压源供电。

通过应用 KVL，施加到线圈的电压为，

$$\mathrm{\mathit{V\:=\:e\:+\:iR}\cdot \cdot \cdot (1)}$$

其中，

• e 是由于电磁感应在线圈中产生的感应 EMF。

• R 是线圈电路的电阻。

• $\mathit{i}$ 是流过线圈的电流线圈。

电磁系统的瞬时功率输入由以下公式给出：

$$\mathrm{\mathit{p}\:=\:\mathit{Vi\:=\:i\left ( e+iR ight )}}$$

$$\mathrm{\Rightarrow \mathit{p}\:=\:\mathit{ie+ i^{\mathrm{2}}}\mathit{R}\cdot \cdot \cdot (2)}$$

现在，让直流电压在时间 t = 0 和 t = t₁ 秒结束时施加到电路，电路中的电流达到 I 安培的值。然后，在此时间间隔内，系统的能量输入为，

$$\mathrm{\mathit{W}_{in}\:=\:\int_{0}^{t_{\mathrm{1}}}\:\mathit{p\:dt}}$$

$$\mathrm{\Rightarrow \mathit{W}_{in}\:=\:\int_{0}^{t_{\mathrm{1}}}\:\mathit{ie\:dt}\:+\:\int_{0}^{t_{\mathrm{1}}}\mathit{i^{\mathrm{2}}R\:dt}\cdot \cdot \cdot (3)}$$

从公式 3 可以看出，总输入能量由两部分组成 −

• 第一部分是储存在磁场中的能量。

• 第二部分是由于线圈的电阻而耗散的能量。

因此，系统磁场中储存的能量为，

$$\mathrm{\mathit{W}_{\mathit{f}}\:=\:\int_{0}^{t_{\mathrm{1}}}\:\mathit{ie\:dt}\:\cdot \cdot \cdot (4)}$$

根据法拉第电磁感应定律，我们有，

$$\mathrm{\mathit{e}\:=\:\frac{\mathit{d\psi }}{\mathit{dt}}\:=\:\frac{\mathit{d}}{\mathit{dt}}\left ( \mathit{N\phi } ight )\:=\:\mathit{N}\frac{\mathit{d\phi }}{\mathit{dt}}\cdot \cdot \cdot (5)}$$

其中，$\psi$ 为磁通链，等于 $\mathit{\psi \:=\:N\phi }$。

$$\mathrm{ 因此 \mathit{W_{f}}\:=\:\int_{0}^{\mathit{t_{\mathrm{1}}}}\frac{\mathit{d\psi }}{\mathit{dt}}\mathit{i\:dt}}$$

$$\mathrm{\Rightarrow \mathit{W_{f}}\:=\:\int_{0}^{\psi_{\mathrm{1}}}\mathit{i\:d\psi }\cdot \cdot \cdot (6)}$$

因此，方程 (6) 表明，磁场中存储的能量等于电磁系统的 ($\psi -i$) 曲线（即磁化曲线）与磁通链 ($\psi$) 轴之间的面积，如图 2 所示。

对于线性电磁系统，磁场中存储的能量为通过，

$$\mathrm{\mathit{W_{f}}\:=\:\int_{0}^{\mathit{\psi _{\mathrm{1}}}}\mathit{id\psi }\:=\:\int_{0}^{\psi_{\mathrm{1}} }\frac{\psi }{\mathit{L}}\mathit{d\psi }}$$

其中，$\psi\:=\:\mathit{N\phi }\:=\:\mathit{Li}$ 且 L 为线圈的自感。

$$\mathrm{ 因此 \mathit{W_{f}}\:=\:\frac{\psi ^{\mathrm{2}}}{2\mathit{L}}\:=\:\frac{1}{2}\mathit{Li^{\mathrm{2}}}\cdot \cdot \cdot (7)}$$

余能的概念

余能是一个虚构的概念，用于推导电磁系统中产生的扭矩的表达式。因此，余能在该系统中没有物理意义。

基本上，余能是 $\psi -i$ 曲线与电流轴之间的面积，用 $\mathit{W_{f}^{'}}$ 表示，如上图 2 所示。

从数学上讲，余能由以下公式给出：

$$\mathrm{\mathit{W_{f}^{'}}\:=\:\int_{0}^{i}\psi \mathit{di}\:=\:\int_{0}^{i}\mathit{Li\:di}}$$

$$\mathrm{\Rightarrow \mathit{W_{f}^{'}}\:=\:\frac{1}{2}\mathit{Li^{\mathrm{2}}}\cdot \cdot \cdot (8)}$$

从方程 (7) 和 (8) 可知，对于线性磁系统，磁场中储存的能量与余能相等。