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二阶系统的响应

本章将讨论二阶系统的时间响应。考虑以下闭环控制系统的框图。这里，开环传递函数 $\frac{\omega ^2_n}{s(s+2\delta \omega_n)}$ 与一个单位负反馈相连。

我们知道，具有单位负反馈的闭环控制系统的传递函数为

$$\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{G(s)}{1+G(s)}$$

将 $G(s)=\frac{\omega ^2_n}{s(s+2\delta \omega_n)}$ 代入上式。

$$\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{\left (\frac{\omega ^2_n}{s(s+2\delta \omega_n)} ight )}{1+ \left ( \frac{\omega ^2_n}{s(s+2\delta \omega_n)} ight )}=\frac{\omega _n^2}{s^2+2\delta \omega _ns+\omega _n^2}$$

分母项中's'的幂为2。因此，上述传递函数是二阶的，系统被称为二阶系统。

特征方程为 -

$$s^2+2\delta \omega _ns+\omega _n^2=0$$

特征方程的根为 -

$$s=\frac{-2\omega \delta _n\pm \sqrt{(2\delta\omega _n)^2-4\omega _n^2}}{2}=\frac{-2(\delta\omega _n\pm \omega _n\sqrt{\delta ^2-1})}{2}$$

$$\Rightarrow s=-\delta \omega_n \pm \omega _n\sqrt{\delta ^2-1}$$

• 当 δ = 0 时，两个根为虚数。
• 当 δ = 1 时，两个根为实数且相等。
• 当 δ > 1 时，两个根为实数但不相等。
• 当 0 < δ < 时，两个根为复共轭1.

我们可以将 $C(s)$ 方程写为，

$$C(s)=\left ( \frac{\omega _n^2}{s^2+2\delta\omega_ns+\omega_n^2} ight )R(s)$$

其中，

• C(s) 是输出信号的拉普拉斯变换，c(t)

• R(s) 是输入信号的拉普拉斯变换，r(t)

• ω_n 是固有频率

• δ 是阻尼比。

按照以下步骤获取响应（输出）在时间域中的二阶系统。

• 对输入信号 $r(t)$ 进行拉普拉斯变换。

• 考虑方程 $C(s)=\left ( \frac{\omega _n^2}{s^2+2\delta\omega_ns+\omega_n^2} ight )R(s)$

• 将 $R(s)$ 值代入上述方程中。

• 如果需要，对 $C(s)$ 进行部分分式。

• 对 $C(s)$ 进行逆拉普拉斯变换。

二阶系统的阶跃响应

将单位阶跃信号视为二阶系统的输入。

单位阶跃信号的拉普拉斯变换阶跃信号为，

$$R(s)=\frac{1}{s}$$

我们知道二阶闭环控制系统的传递函数为，

$$\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{\omega _n^2}{s^2+2\delta\omega_ns+\omega_n^2}$$

情况 1：δ = 0

代入传递函数中的 $\delta = 0$。

$$\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{\omega_n^2}{s^2+\omega_n^2}$$

$$\Rightarrow C(s)=\left( \frac{\omega_n^2}{s^2+\omega_n^2} ight )R(s)$$

代入上述等式中的 $R(s) = \frac{1}{s}$。

$$C(s)=\left( \frac{\omega_n^2}{s^2+\omega_n^2} ight )\left( \frac{1}{s} ight )=\frac{\omega_n^2}{s(s^2+\omega_n^2)}$$

对两边应用逆拉普拉斯变换。

$$c(t)=\left ( 1-\cos(\omega_n t) ight )u(t)$$

因此，当 $/delta = 0$ 时，二阶系统的单位阶跃响应将是具有恒定幅度和频率的连续时间信号。

案例 2：δ = 1

代入传递函数中的 $/delta = 1$。

$$\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{\omega_n^2}{s^2+2\omega_ns+\omega_n^2}$$

$$\Rightarrow C(s)=\left( \frac{\omega_n^2}{(s+\omega_n)^2} ight)R(s)$$

代入上述等式中的 $R(s) = \frac{1}{s}$。

$$C(s)=\left( \frac{\omega_n^2}{(s+\omega_n)^2} ight)\left ( \frac{1}{s} ight)=\frac{\omega_n^2}{s(s+\omega_n)^2}$$

对 $C(s)$ 进行部分分式化。

$$C(s)=\frac{\omega_n^2}{s(s+\omega_n)^2}=\frac{A}{s}+\frac{B}{s+\omega_n}+\frac{C}{(s+\omega_n)^2}$$

化简后，A、B、C 的值分别为 $1,\: -1\: 和 \: −\omega _n$。将这些值代入上述 $C(s)$ 的部分分式展开式中。

$$C(s)=\frac{1}{s}-\frac{1}{s+\omega_n}-\frac{\omega_n}{(s+\omega_n)^2}$$

对两边应用逆拉普拉斯变换。

$$c(t)=(1-e^{-\omega_nt}-\omega _nte^{-\omega_nt})u(t)$$

因此，二阶系统的单位阶跃响应将尝试在稳定状态下达到阶跃输入。

情况 3：0 < δ < 1

我们可以修改传递函数的分母项如下 −

$$s^2+2\delta\omega_ns+\omega_n^2=\left \{ s^2+2(s)(\delta \omega_n)+(\delta \omega_n)^2 ight \}+\omega_n^2-(\delta\omega_n)^2$$

$$=(s+\delta\omega_n)^2+\omega_n^2(1-\delta^2)$$

传递函数变成，

$$\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{\omega_n^2}{(s+\delta\omega_n)^2+\omega_n^2(1-\delta^2)}$$

$$\Rightarrow C(s)=\left( \frac{\omega_n^2}{(s+\delta\omega_n)^2+\omega_n^2(1-\delta^2)} ight )R(s)$$

代入上述等式中的 $R(s) = \frac{1}{s}$。

$$C(s)=\left( \frac{\omega_n^2}{(s+\delta\omega_n)^2+\omega_n^2(1-\delta^2)} ight )\left( \frac{1}{s} ight )=\frac{\omega_n^2}{s\left ((s+\delta\omega_n)^2+\omega_n^2(1-\delta^2) ight)}$$

对 $C(s)$ 进行部分分式化。

$$C(s)=\frac{\omega_n^2}{s\left ((s+\delta\omega_n)^2+\omega_n^2(1-\delta^2) ight)}=\frac{A}{s}+\frac{Bs+C}{(s+\delta\omega_n)^2+\omega_n^2(1-\delta^2)}$$

化简后，A、B、C 的值分别为 $1,\: -1 \: 和 \: −2\delta \omega _n$分别代入上述 C(s) 的部分分式展开式中的这些值。

$$C(s)=\frac{1}{s}-\frac{s+2\delta\omega_n}{(s+\delta\omega_n)^2+\omega_n^2(1-\delta^2)}$$

$$C(s)=\frac{1}{s}-\frac{s+\delta\omega_n}{(s+\delta\omega_n)^2+\omega_n^2(1-\delta^2)}-\frac{\delta\omega_n}{(s+\delta\omega_n)^2+\omega_n^2(1-\delta^2)}$$

$C(s)=\frac{1}{s}-\frac{(s+\delta\omega_n)}{(s+\delta\omega_n)^2+(\omega_n\sqrt{1-\delta^2})^2}-\frac{\delta}{\sqrt{1-\delta^2}}\left ( \frac{\omega_n\sqrt{1-\delta^2}}{(s+\delta\omega_n)^2+(\omega_n\sqrt{1-\delta^2})^2} ight )$

将上面的 $\omega_n\sqrt{1-\delta^2}$ 替换为 $\omega_d$方程。

$$C(s)=\frac{1}{s}-\frac{(s+\delta\omega_n)}{(s+\delta\omega_n)^2+\omega_d^2}-\frac{\delta}{\sqrt{1-\delta^2}}\left ( \frac{\omega_d}{(s+\delta\omega_n)^2+\omega_d^2} ight )$$

对两边应用逆拉普拉斯变换。

$$c(t)=\left ( 1-e^{-\delta \omega_nt}\cos(\omega_dt)-\frac{\delta}{\sqrt{1-\delta^2}}e^{-\delta\omega_nt}\sin(\omega_dt) ight )u(t)$$

$$c(t)=\left ( 1-\frac{e^{-\delta\omega_nt}}{\sqrt{1-\delta^2}}\left ( (\sqrt{1-\delta^2})\cos(\omega_dt)+\delta \sin(\omega_dt) ight ) ight )u(t)$$

如果 $\sqrt{1-\delta^2}=\sin( heta)$，则'δ' 将是 cos(θ)。将这些值代入上述方程。

$$c(t)=\left ( 1-\frac{e^{-\delta\omega_nt}}{\sqrt{1-\delta^2}}(\sin( heta)\cos(\omega_dt)+\cos( heta)\sin(\omega_dt)) ight )u(t)$$

$$\Rightarrow c(t)=\left ( 1-\left ( \frac{e^{-\delta\omega_nt}}{\sqrt{1-\delta^2}} ight )\sin(\omega_dt+ heta) ight )u(t)$$

因此，当'δ'介于零和一之间时，二阶系统的单位阶跃响应具有阻尼振荡（幅度减小）。

案例4：δ > 1

我们可以修改传递函数的分母项，如下所示 −

$$s^2+2\delta\omega_ns+\omega_n^2=\left \{ s^2+2(s)(\delta\omega_n)+(\delta\omega_n)^2 ight \}+\omega_n^2-(\delta\omega_n)^2$$

$$=\left ( s+\delta\omega_n ight )^2-\omega_n^2\left ( \delta^2-1 ight )$$

传递函数变为，

$$\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{\omega_n^2}{(s+\delta\omega_n)^2-\omega_n^2(\delta^2-1)}$$

$$\Rightarrow C(s)=\left ( \frac{\omega_n^2}{(s+\delta\omega_n)^2-\omega_n^2(\delta^2-1)} ight )R(s)$$

代入上述等式中的 $R(s) = \frac{1}{s}$。

$C(s)=\left ( \frac{\omega_n^2}{(s+\delta\omega_n)^2-(\omega_n\sqrt{\delta^2-1})^2} ight )\left ( \frac{1}{s} ight )=\frac{\omega_n^2}{s(s+\delta\omega_n+\omega_n\sqrt{\delta^2-1})(s+\delta\omega_n-\omega_n\sqrt{\delta^2-1})}$

对部分分式进行$C(s)$。

$$C(s)=\frac{\omega_n^2}{s(s+\delta\omega_n+\omega_n\sqrt{\delta^2-1})(s+\delta\omega_n-\omega_n\sqrt{\delta^2-1})}$$

$$=\frac{A}{s}+\frac{B}{s+\delta\omega_n+\omega_n\sqrt{\delta^2-1}}+\frac{C}{s+\delta\omega_n-\omega_n\sqrt{\delta^2-1}}$$

化简后，A、B、C 的值分别为 1、$\frac{1}{2(\delta+\sqrt{\delta^2-1})(\sqrt{\delta^2-1})}$ 和分别为 $\frac{-1}{2(\delta-\sqrt{\delta^2-1})(\sqrt{\delta^2-1})}$。将这些值代入上述 $C(s)$ 的部分分式展开式中。

$$C(s)=\frac{1}{s}+\frac{1}{2(\delta+\sqrt{\delta^2-1})(\sqrt{\delta^2-1})}\left ( \frac{1}{s+\delta\omega_n+\omega_n\sqrt{\delta^2-1}} ight )-\left ( \frac{1}{2(\delta-\sqrt{\delta^2-1})(\sqrt{\delta^2-1})} ight )\left ( \frac{1}{s+\delta\omega_n-\omega_n\sqrt{\delta^2-1}} ight )$$

对两边应用逆拉普拉斯变换。

$c(t)=\left ( 1+\left ( \frac{1}{2(\delta+\sqrt{\delta^2-1})(\sqrt{\delta^2-1})} ight )e^{-(\delta\omega_n+\omega_n\sqrt{\delta^2-1})t}-\left ( \frac{1}{2(\delta-\sqrt{\delta^2-1})(\sqrt{\delta^2-1})} ight )e^{-(\delta\omega_n-\omega_n\sqrt{\delta^2-1})t} ight )u(t)$

由于过阻尼，当 δ > 时，二阶系统的单位阶跃响应1 在稳定状态下永远不会达到阶跃输入。

二阶系统的脉冲响应

二阶系统的脉冲响应可以通过使用这两种方法中的任何一种来获得。

• 在推导阶跃响应时，请遵循所涉及的程序，将 $R(s)$ 的值视为 1 而不是 $\frac{1}{s}$。

• 对阶跃响应进行微分。

下表显示了 4 种阻尼比情况下二阶系统的脉冲响应。

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