控制系统 - 奈奎斯特图
奈奎斯特图是极坐标图的延续，通过将 ω 从 −∞ 变为 ∞ 来查找闭环控制系统的稳定性。这意味着，奈奎斯特图用于绘制开环传递函数的完整频率响应。
奈奎斯特稳定性标准
奈奎斯特稳定性标准基于论证原理。它指出，如果有 P 个极点和 Z 个零点被"s"平面闭合路径包围，则相应的 $G(s)H(s)$ 平面必须围绕原点 $P − Z$ 次。因此，我们可以将包围圈数 N 写为，
$$N=P-Z$$
如果封闭的's'平面闭合路径仅包含极点，则$G(s)H(s)$平面中的包围圈方向将与's'平面中封闭的闭合路径方向相反。
如果封闭的's'平面闭合路径仅包含零点，则$G(s)H(s)$平面中的包围圈方向将与's'平面中封闭的闭合路径方向相同。
现在让我们将参数原理应用于's'平面的整个右半部分，将其选为闭合路径。这条选定的路径称为奈奎斯特轮廓。
我们知道，如果闭环传递函数的所有极点都在"s"平面的左半部分，则闭环控制系统是稳定的。因此，闭环传递函数的极点就是特征方程的根。随着特征方程阶数的增加，找到根变得越来越困难。因此，让我们按如下方式关联特征方程的这些根。
特征方程的极点与开环传递函数的极点相同。
特征方程的零点与闭环传递函数的极点相同。
我们知道，如果在"s"平面的右半部分没有开环极点，则开环控制系统是稳定的。
即$P=0 \Rightarrow N=-Z$
我们知道，如果在"s"平面的右半部分没有闭环极点，则闭环控制系统是稳定的。
即$Z=0 \Rightarrow N=P$
奈奎斯特稳定性标准规定临界点 (1+j0) 周围的圆周数必须等于特征方程的极点，而特征方程的极点就是开环传递函数在's'平面右半部分的极点。原点移至 (1+j0) 可得到特征方程平面。
绘制奈奎斯特图的规则
绘制奈奎斯特图时请遵循这些规则。
在's'平面上找到开环传递函数 $G(s)H(s)$ 的极点和零点。
通过将 $\omega$ 从零变为无穷大来绘制极坐标图。如果极点或零点出现在 s = 0 处，则将 $\omega$ 从 0+ 变为无穷大以绘制极坐标图。
绘制上述极坐标图的镜像，其中 $\omega$ 的值范围从 −∞ 到零（如果 s=0 处存在任何极点或零点，则为 0−）。
无限半径半圆的数量将等于原点处的极点或零点的数量。无限半径半圆将从极坐标图镜像结束的点开始。并且这个无限半径半圆将在极坐标图开始的点结束。
绘制奈奎斯特图后，我们可以使用奈奎斯特稳定性标准找到闭环控制系统的稳定性。如果临界点 (-1+j0) 位于包围圈之外，则闭环控制系统绝对稳定。
使用奈奎斯特图进行稳定性分析
从奈奎斯特图中，我们可以根据这些参数的值确定控制系统是稳定、边缘稳定还是不稳定。
- 增益交叉频率和相位交叉频率
- 增益裕度和相位裕度
相位交叉频率
奈奎斯特图与负实轴相交（相位角为 1800）的频率称为相位交叉频率。它用 $\omega_{pc}$ 表示。
增益交叉频率
奈奎斯特图幅度为 1 的频率称为增益交叉频率。它用$\omega_{gc}$表示。
基于相位交叉频率和增益交叉频率之间关系的控制系统稳定性如下所示。
如果相位交叉频率$\omega_{pc}$大于增益交叉频率$\omega_{gc}$，则控制系统稳定。
如果相位交叉频率$\omega_{pc}$等于增益交叉频率$\omega_{gc}$，则控制系统边缘稳定。
如果相位交叉频率$\omega_{pc}$小于增益交叉频率$\omega_{gc}$，则控制系统不稳定。
增益裕度
增益裕度 $GM$ 等于相位交叉频率处奈奎斯特图幅度的倒数。
$$GM=\frac{1}{M_{pc}}$$
其中，$M_{pc}$ 是相位交叉频率处正常尺度的幅度。
相位裕度
相位裕度 $PM$ 等于 1800 与增益交叉频率处的相位角之和。
$$PM=180^0+\phi_{gc}$$
其中，$\phi_{gc}$ 是增益交叉频率处的相位角。
基于增益裕度和相位裕度之间关系的控制系统稳定性如下所示。
如果增益裕度 $GM$ 大于 1，且相位裕度 $PM$ 为正，则控制系统稳定。
如果增益裕度 $GM$ 等于 1，且相位裕度 $PM$ 为零度，则控制系统边缘稳定。
如果增益裕度 $GM$ 小于 1 和/或相位裕度 $PM$ 为负，则控制系统不稳定。
