LPF 和 HPF 的特殊功能

低通和高通滤波器电路在许多应用中用作特殊电路。低通滤波器 (LPF) 可以用作 积分器，而高通滤波器 (HPF) 可以用作 微分器。这两个数学函数只有在这些电路中才有可能实现，从而在许多应用中减少了电子工程师的工作量。

低通滤波器作为积分器

在低频下，电容电抗趋于无穷大，而在高频下电抗变为零。因此，在低频下，LPF 具有有限的输出，而在高频下，输出为零，这对于积分器电路也是如此。因此，可以说低通滤波器充当积分器。

对于 LPF 作为积分器的行为

$$ au \gg T$$

其中 $ au = RC$ 是电路的时间常数

然后 C 中的电压变化非常小。

$$V_{i}=iR+\frac{1}{C} \int i \:dt$$

$$V_{i}\cong iR$$

$$由于 \:\: \frac{1}{C} \int i \:dt \ll iR$$

$$i=\frac{V_{i}}{R}$$

$$ 因为 \:\: V_{0}=\frac{1}{C}\int i dt =\frac{1}{RC}\int V_{i}dt=\frac{1}{ au }\int V_{i} dt$$

$$输出 \propto \int 输入$$

因此，具有较大时间常数的 LPF 产生的输出与输入的积分成比例。

频率响应

实际低通滤波器作为积分器工作时的频率响应如下所示。

输出波形

如果积分器电路输入的是正弦波，则输出将是余弦波。如果输入是方波，则输出波形会改变其形状，如下图所示。

高通滤波器作为微分器

在低频下，微分器的输出为零，而在高频下，其输出为某个有限值。这与微分器相同。因此，高通滤波器被称为微分器。

如果 RC HPF 的时间常数比输入信号的时间周期小很多，则电路将充当微分器。然后，与 C 上的压降相比，R 上的压降非常小。

$$V_{i}=\frac{1}{C}\int i \:dt +iR$$

但 $iR=V_{0}$ 很小

$$因为 V_{i}=\frac{1}{C}\int i \:dt$$

$$i=\frac{V_{0}}{R}$$

$$因为 \: V_{i} =\frac{1}{ au }\int V_{0} \:dt$$

其中 $ au =RC$ 是电路的时间常数。

对两者进行微分两侧，

$$\frac{dV_{i}}{dt}=\frac{V_0}{ au }$$

$$V_{0}= au \frac{dV_{i}}{dt}$$

$$由于 \:V_{0}\propto \frac{dV_{i}}{dt}$$

输出与输入信号的差分成比例。

频率响应

实际高通滤波器作为微分器工作时的频率响应如下所示。

输出波形

如果微分器电路是给定一个正弦波输入，输出将是一个余弦波。如果输入是方波，则输出波形会改变其形状并如下图所示。

这两个电路主要用于各种电子应用。当施加的输入趋于稳定变化时，微分器电路会产生恒定的输出电压。当施加的输入电压恒定时，积分器电路会产生稳定变化的输出电压。