使用 MATLAB 中的凯莱·汉密尔顿定理求方阵的逆
让我们从"什么是方阵的逆"和"凯莱·汉密尔顿定理的意义"的简要讨论开始本教程。
什么是方阵的逆？
在线性代数中，有一个基本概念称为方阵的逆。考虑一个方阵"A"，那么将有另一个方阵"A-1"，例如 A。A-1 = I，其中 I 是一个单位矩阵。这里，A-1 称为方阵 A 的逆。
需要注意的是，对于给定的方阵，当且仅当其行列式非零时，才能找到逆。这种可以计算逆的矩阵又称为非奇异矩阵，不能直接计算逆的矩阵称为奇异矩阵。
矩阵逆的计算在线性方程组的求解中起着至关重要的作用。它在工程、计算机图形学、模拟等各个领域都有应用。
凯莱·汉密尔顿定理
凯莱·汉密尔顿定理是线性代数中的一个基本定理，用于寻找方阵与其特征方程之间的关系。
根据凯莱·汉密尔顿定理，任何方阵 A 在矩阵本身上计算时都满足其自身的特征方程。
从数学上讲，如果 A 是方阵，p(x) 是其特征方程，则
p(A) = 0
其中，0 是矩阵 A 阶的零矩阵。
矩阵 A 的特征方程由下式给出：
$$\mathrm{p(x)=|A−xI|}$$
这里，"x"是标量变量，"I"是方阵"A"的单位矩阵。
使用凯莱汉密尔顿定理求方阵逆的步骤
使用凯莱汉密尔顿定理求方阵逆的分步过程解释如下：
步骤 (1) – 首先，计算给定方阵 A 的特征方程，即
$$\mathrm{p(x)=|A−xI|}$$
其中，"I"是方阵 A 的单位矩阵。
步骤 (2) – 用方阵 A 替换特征方程 p(x) 中的变量"x"，得到矩阵方程 p(A)。
步骤 (3) – 通过求解矩阵方程 p(A) 获得零矩阵，即
p(A)=0
其中，0 是与方阵 A 大小相同的零矩阵。
步骤 (4) – 写出矩阵方程，即
$$\mathrm{A.A^{-1=I}$$
其中，A-1 是方阵 A 的逆。
步骤 (5) – 通过执行矩阵运算求解矩阵方程，得到逆方阵 A-1。
以上就是使用凯莱汉密尔顿定理求方阵逆的所有步骤。
在了解了方阵逆和凯莱矩阵之后汉密尔顿定理，现在让我们讨论如何在 MATLAB 中使用凯莱汉密尔顿定理求方阵的逆。
在 MATLAB 中使用凯莱汉密尔顿定理求方阵的逆
以下 MATLAB 中的示例程序演示了如何在 MATAB 中使用凯莱汉密尔顿定理求方阵的逆。
示例
% MATLAB 代码使用凯莱汉密尔顿定理求方阵的逆
% 创建示例方阵
A = [1, 4, 2; 4, -5, 6; 3, 2, -9];
% 计算矩阵 A 特征方程的系数
c = poly(A);
% 计算矩阵 A 特征方程的系数个数
n = length(c);
% 初始化逆矩阵
inv = c(1) * A^(n-2);
% 应用凯莱汉密尔顿定理计算逆矩阵 A
for i = 2:n-1
inv = inv + c(i) * A^(n-i-1);
end
% 验证 |A| = 0 或不为
if round(c(n)) == 0
disp('方阵 A 是奇异矩阵，其逆不存在。')
else
inv = inv / (-c(n));
disp('方阵 A 的逆：')
disp(inv)
end
输出
方阵 A 的逆： 1.1186e-01 1.3559e-01 1.1525e-01 1.8305e-01 -5.0847e-02 6.7797e-03 7.7966e-02 3.3898e-02 -7.1186e-02
示例
现在，让我们考虑另一个示例，在该示例中，我们将尝试查找奇异方阵的逆并查看结果。
% MATLAB 代码使用凯莱汉密尔顿定理查找方阵的逆
% 创建示例方阵
A = [1, 2, 3; 2, 4, 6; 3, 6, 9];
% 计算矩阵 A 的特征方程的系数
c = poly(A);
% 计算矩阵 A 的特征方程中的系数个数
n = length(c);
% 初始化逆矩阵
inv = c(1) * A^(n-2);
% 应用凯莱汉密尔顿定理计算逆矩阵 A
对于 i = 2:n-1
inv = inv + c(i) * A^(n-i-1);
end
% 验证 |A| = 0 或不
if round(c(n)) == 0
disp('方阵 A 是奇异矩阵，其逆不存在。')
else
inv = inv / (-c(n));
disp('方阵 A 的逆：')
disp(inv)
end
输出
方阵 A 是奇异矩阵，其逆不存在。
结论
在本教程中，我们讨论了如何使用 MATLAB 中的凯莱汉密尔顿定理找到方阵的逆。为了更好地理解，我们用适当的例子解释了理论概念。
