TensorFlow - 数学基础
在 TensorFlow 中创建基本应用程序之前，了解 TensorFlow 所需的数学概念很重要。 数学被认为是任何机器学习算法的核心。 正是借助数学的核心概念，定义了特定机器学习算法的解决方案。
矢量
一个连续或离散的数字数组被定义为一个向量。 机器学习算法处理固定长度的向量以获得更好的输出生成。
机器学习算法处理多维数据，因此向量起着至关重要的作用。
矢量模型的图示如下图 −
标量
标量可以定义为一维向量。 标量是那些只包括大小而没有方向的量。 对于标量，我们只关心大小。
标量的示例包括儿童的体重和身高参数。
矩阵
矩阵可以定义为多维数组，以行和列的格式排列。 矩阵的大小由行长和列长定义。 下图显示了任何指定矩阵的表示。
考虑上面提到的具有"m"行和"n"列的矩阵，矩阵表示将被指定为"m*n 矩阵"，它也定义了矩阵的长度。
数学计算
在本节中，我们将了解 TensorFlow 中的不同数学计算。
矩阵加法
如果矩阵具有相同的维度，则可以添加两个或多个矩阵。 添加意味着根据给定位置添加每个元素。
考虑以下示例以了解矩阵相加的工作原理 −
$$Example:A=\begin{bmatrix}1 & 2 \\3 & 4 \end{bmatrix}B=\begin{bmatrix}5 & 6 \\7 & 8 \end{bmatrix}\:then\:A+B=\begin{bmatrix}1+5 & 2+6 \\3+7 & 4+8 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}6 & 8 \\10 & 12 \end{bmatrix}$$
矩阵减法
矩阵减法的操作方式与两个矩阵相加类似。 如果维度相等，用户可以减去两个矩阵。
$$Example:A-\begin{bmatrix}1 & 2 \\3 & 4 \end{bmatrix}B-\begin{bmatrix}5 & 6 \\7 & 8 \end{bmatrix}\:then\:A-B-\begin{bmatrix}1-5 & 2-6 \\3-7 & 4-8 \end{bmatrix}-\begin{bmatrix}-4 & -4 \\-4 & -4 \end{bmatrix}$$
矩阵乘法
对于两个矩阵 A m*n 和 B p*q 是可乘的，n 应该等于 p。 结果矩阵是 −
C m*q
$$A=\begin{bmatrix}1 & 2 \\3 & 4 \end{bmatrix}B=\begin{bmatrix}5 & 6 \\7 & 8 \end{bmatrix}$$
$$c_{11}=\begin{bmatrix}1 & 2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}5 \\7 \end{bmatrix}=1\times5+2\times7=19\:c_{12}=\begin{bmatrix}1 & 2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}6 \\8 \end{bmatrix}=1\times6+2\times8=22$$
$$c_{21}=\begin{bmatrix}3 & 4 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}5 \\7 \end{bmatrix}=3\times5+4\times7=43\:c_{22}=\begin{bmatrix}3 & 4 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}6 \\8 \end{bmatrix}=3\times6+4\times8=50$$
$$C=\begin{bmatrix}c_{11} & c_{12} \\c_{21} & c_{22} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}19 & 22 \\43 & 50 \end{bmatrix}$$
矩阵转置
矩阵A的转置，m*n一般用AT(转置)n*m表示，是通过将列向量转置为行向量得到的。
$$Example:A=\begin{bmatrix}1 & 2 \\3 & 4 \end{bmatrix}\:then\:A^{T}\begin{bmatrix}1 & 3 \\2 & 4 \end{bmatrix}$$
向量的点积
任何维度为 n 的向量都可以表示为矩阵 v = R^n*1。
$$v_{1}=\begin{bmatrix}v_{11} \\v_{12} \\\cdot\\\cdot\\\cdot\\v_{1n}\end{bmatrix}v_{2}=\begin{bmatrix}v_{21} \\v_{22} \\\cdot\\\cdot\\\cdot\\v_{2n}\end{bmatrix}$$
两个向量的点积是对应分量乘积的和减去; 沿相同维度的分量可以表示为
$$v_{1}\cdot v_{2}=v_1^Tv_{2}=v_2^Tv_{1}=v_{11}v_{21}+v_{12}v_{22}+\cdot\cdot+v_{1n}v_{2n}=\displaystyle\sum\limits_{k=1}^n v_{1k}v_{2k}$$
向量点积的例子如下 −
$$Example:v_{1}=\begin{bmatrix}1 \\2 \\3\end{bmatrix}v_{2}=\begin{bmatrix}3 \\5 \\-1\end{bmatrix}v_{1}\cdot v_{2}=v_1^Tv_{2}=1\times3+2\times5-3\times1=10$$
