系统分类

系统分为以下几类：

• 线性和非线性系统
• 时变和时不变系统
• 线性时变和线性时不变系统
• 静态和动态系统
• 因果和非因果系统
• 可逆和不可逆系统
• 稳定和不稳定系统

线性和非线性系统

当系统满足叠加和均质原理时，系统被称为线性系统。考虑两个系统，其输入分别为 x₁(t)、x₂(t)，输出分别为 y₁(t)、y₂(t)。然后，根据叠加和均质原理，

T [a₁ x₁(t) + a₂ x₂(t)] = a₁ T[x₁(t)] + a₂ T[x₂(t)]

$因此，$ T [a₁ x₁(t) + a₂ x₂(t)] = a₁ y₁(t) + a₂ y₂(t)

从上面的表达式可以清楚地看出，整体系统的响应等于单个系统的响应系统。

示例：

(t) = x²(t)

解决方案：

y₁ (t) = T[x₁(t)] = x₁²(t)

y₂ (t) = T[x₂(t)] = x₂²(t)

T [a₁ x₁(t) + a₂ x₂(t)] = [ a₁ x₁(t) + a₂ x₂(t)]²

不等于 a₁ y₁(t) + a₂ y₂(t)。因此，该系统被称为非线性的。

时变系统和时不变系统

如果系统的输入和输出特性随时间变化，则该系统被称为时变的。否则，该系统被视为时不变的。

时不变系统的条件是：

y (n , t) = y(n-t)

时变系统的条件是：

y (n , t) $ eq$ y(n-t)

其中 y (n , t) = T[x(n-t)] = 输入变化

y (n-t) = 输出变化

示例：

y(n) = x(-n)

y(n, t) = T[x(n-t)] = x(-n-t)

y(n-t) = x(-(n-t)) = x(-n + t)

$因此$ y(n, t) ≠ y(n-t)。因此，系统是时变的。

线性时变 (LTV) 和线性时不变 (LTI) 系统

如果系统既是线性的又是时变的，则称为线性时变 (LTV) 系统。

如果系统既是线性的又是时不变的，则该系统称为线性时不变 (LTI) 系统。

静态和动态系统

静态系统无记忆，而动态系统是记忆系统。

示例 1： y(t) = 2 x(t)

对于当前值 t=0，系统输出为 y(0) = 2x(0)。这里，输出仅取决于当前输入。因此，系统无内存或静态。

示例 2： y(t) = 2 x(t) + 3 x(t-3)

对于当前值 t=0，系统输出为 y(0) = 2x(0) + 3x(-3)。

此处 x(-3) 是当前输入的过去值，系统需要内存才能获得此输出。因此，该系统是一个动态系统。

因果系统和非因果系统

如果系统的输出取决于当前和过去的输入，而不取决于未来的输入，则称该系统为因果系统。

对于非因果系统，输出也取决于未来的输入。

示例 1： y(n) = 2 x(t) + 3 x(t-3)

对于当前值 t=1，系统输出为 y(1) = 2x(1) + 3x(-2)。

此处，系统输出仅取决于当前和过去的输入。因此，该系统是因果的。

示例 2： y(n) = 2 x(t) + 3 x(t-3) + 6x(t + 3)

对于当前值 t=1，系统输出为 y(1) = 2x(1) + 3x(-2) + 6x(4) 这里，系统输出取决于未来输入。因此，该系统是非因果系统。

可逆系统和不可逆系统

如果系统的输入出现在输出处，则称系统是可逆的。

Y(S) = X(S) H1(S) H2(S)

= X(S) H1(S) · $1 \over ( H1(S) )$       Since H2(S) = 1/( H1(S) )

$ herefore, $ Y(S) = X(S)

$ o$ y(t) = x(t)

因此，该系统是可逆的。

如果 y(t) $ eq$ x(t)，则该系统被称为不可逆的。

稳定和不稳定系统

仅当输出对于有界输入有界时，系统才被称为稳定。对于有界输入，如果系统中的输出无界，则称其为不稳定。

注意：对于有界信号，振幅是有限的。

示例 1： y (t) = x²(t)

假设输入为 u(t)（单位阶跃有界输入），则输出 y(t) = u2(t) = u(t) = 有界输出。

因此，系统是稳定的。

示例 2： y (t) = $\int x(t)\, dt$

假设输入为 u (t)（单位阶跃有界输入），则输出 y(t) = $\int u(t)\, dt$ = 斜坡信号（无界是因为斜坡的幅度不是有限的，当 t $ o$ 无限时它会变为无限）。

因此，系统不稳定。