Python - 数论变换
数论变换 (NTT) 是数论领域中许多计算应用的关键组成部分。它在加密、信号处理、纠错码等领域至关重要，因为它使大数乘法和卷积过程变得高效。NTT 是一种快速计算模素整数多项式乘法的方法，与快速傅里叶变换 (FFT) 密切相关。
在本文中，我们将研究两种在 Python 中实现数论变换的不同方法。我们将研究 Cooley-Tukey 算法，这是将快速傅里叶变换付诸实践的最流行方法之一。 Cooley-Tukey 算法通过将大问题划分为较小的子问题并合并解决方案，应用分而治之策略来得出最终的转换输出。
通过概述其算法、代码示例和输出示例，我们希望能够让您掌握这两种方法。读完本文后，读者将拥有坚实的基础，能够有效地实现数论变换并在计算任务中利用其强大功能。
方法
要在 Python 中执行数论变换，我们可以遵循以下两种方法 -
使用复数的 Cooley-Tukey 算法。
使用整数的 Cooley-Tukey 算法。
让我们来看看这两种方法 -
方法 - 1:使用复数的 Cooley-Tukey 算法
使用快速傅里叶变换 (FFT) 方法快速计算离散傅里叶变换 (DFT) 的一种众所周知的方法是 Cooley-Tukey 算法。该算法可以适用于执行 NTT。
算法
在 Python 中执行数论变换的算法如下 -
步骤 1 - 导入 cmath 模块。
步骤 2 - 构建一个以数组为参数的函数。
步骤 3 - 在变量 N 中计算并存储数组的长度。
步骤 4 - 递归计算两个部分。
步骤 5 - 为范围"N/2"的每个索引 k 计算旋转因子"T"
步骤 6 - 将偶数索引元素添加到其相应的旋转中因子并从这些旋转因子中减去偶数索引元素以确定转换后的值。
步骤 7 - 通过将偶数索引元素与其各自的旋转因子相加，并从其相应的旋转因子中删除偶数索引元素，计算转换后的值。当计算出的转换值连接在一起时，将返回结果。
步骤 8 - 通过将数组作为参数传递来调用该函数并显示结果。
示例
#导入 cmath 模块
import cmath
#创建一个以数组为参数的函数
def ftt_cooley_tukey(x):
#计算数组的长度
N = len(x)
#如果长度等于 1，则返回原始数组
if N == 1:
return x
#取偶数部分
evenPart = ftt_cooley_tukey(x[::2])
#取奇数部分
oddPart = ftt_cooley_tukey(x[1::2])
#计算每个索引 k 的 T 的旋转因子
T = [cmath.exp(-2j * cmath.pi * k / N) * oddPart[k] for k in range(N // 2)]
#返回转换后的值
return [evenPart[k] + T[k] for k in range(N // 2)] + [evenPart[k] - T[k] for k in range(N // 2)]
#输入数组的一个实例
example_array = [1, 2, 3, 4]
output = ftt_cooley_tukey(example_array)
print("方法 1 - Cooley-Tukey FFT 算法与复数:")
print("输出数组:", output)
输出
方法 1 - Cooley-Tukey FFT 算法与复数: 输出数组:[(10+0j), (-2+2j), (-2+0j), (-1.9999999999999998-2j)]
方法 - 2:Cooley-Tukey 算法与整数
NTT 算法已被 Cooley-Tukey 算法修改，以便整数在具有模的有限域上进行运算算术。在处理数论和密码学的应用时，计算以素数整数为模，这种方法特别有用。
算法
在 Python 中执行数论变换的算法如下 -
步骤 1 - 导入 numpy 模块。
步骤 2 - 创建一个接受数组、原根和素值的函数。
步骤 3 - 递归计算偶数和奇数部分。
步骤 4 - 变量 g_squared_mod_p 生成并存储旋转因子 g 的 2 次方模 p。
步骤 5 - 遍历数组并计算(因子 * odd[i])%p 并将结果存储在 term 中。然后计算 (even[i] + term)% p 的第一个分量并将其分配给 result[i]。然后计算 (even[i] - term)% p 的第二个分量并将其添加到 result[i + N // 2]。将因子乘以 g_squared_mod_p 以更新它。
步骤 6 - 返回结果。
步骤 7 - 通过传递所需参数来调用该函数，并显示结果。
示例
#导入 numpy 模块
import numpy as np
#创建一个接受数组、原根和素数的函数。
def ntt_cooley_tukey(x, p, g):
N = len(x)
if N == 1:
return x
# 计算奇数和偶数部分
evenPart = ntt_cooley_tukey(x[::2], p, (g * g) % p)
oddPart = ntt_cooley_tukey(x[1::2], p, (g * g) % p)
g_squared_mod_p = (g * g) % p
factor = 1
result = np.zeros(N, dtype=int)
# 对于 N/2 范围
for i in range(N // 2):
term = (factor * oddPart[i]) % p
#计算结果的第一部分
result[i] = (evenPart[i] + term) % p
#计算结果的第二部分
result[i + N // 2] = (evenPart[i] - term) % p
#通过与 g_squared_mod_p 相乘来更新因子。
factor = (factor * g_squared_mod_p) % p
return result
# 创建一个包含一些值的数组
input_array = np.array([1, 2, 3, 4])
prime = 5
primitive_root = 2 # 素数 5 的原根
output = ntt_cooley_tukey(input_array, prime, primitive_root)
print("方法 2 - 使用整数的 Cooley-Tukey 算法:")
print("输出数组:", output)
输出
方法 2 - 使用整数的 Cooley-Tukey 算法: 输出数组:[0 0 3 1]
结论
我们研究了在 Python 中将数论变换 (NTT) 算法付诸实践的两种方法。第一种方法是使用 Cooley-Tukey 快速傅里叶变换 (FFT) 对复数进行变换，而第二种方法则是使用整数模素数。根据当前挑战的需要，可以使用任何一种策略，因为每种策略都有其优势。复数和基于 FFT 的方法提供了一种简单而优雅的解决方案，可以实现快速计算。另一方面，基于整数的技术具有在有限域中操作的优势，这在与数论和密码学相关的应用中尤其有利。
