将阶乘 n 表示为连续数字的和
我们将讨论两种方法来找出如何将数字的阶乘表示为连续数字的和。第一种方法是直接而简单的方法，而在另一种方法中，我们使用算术级数的概念，使其在时间和空间占用方面不那么复杂。
问题陈述
给定一个数字，我们需要找出可以将该数字的阶乘表示为连续自然数之和的方法数。
这涉及两个不同的函数 -
查找数字的阶乘。
查找可以将该数字表示为连续自然数之和的方法数。
示例 1
给定:数字 = 3 结果:1
众所周知，3 的阶乘为 6，可以写成 1+2+3，因此我们的答案是是:1 种方式。
示例 2
给定:数字 = 4 结果:1
众所周知，4 的阶乘是 24，可以写成 7+8+9，因此我们的答案是:1 种方式。
方法 1
这是一种简单的方法，我们首先找出数字的阶乘，然后计算可以将其表示为连续自然数之和的方式数。方法是将阶乘表示为长度为 len+1 的算术级数，即 −
数字的阶乘 = p + (p+1) + (p+2) + … + (p+len) 因此，p = (数字 - len*(len+1)/2)/(len+1) 我们将检查len 的值从 1 到 len*(len+1)/2<Number
当我们获得 len 作为正整数时，我们将其算作一个解决方案。
示例
在下面的例子中，我们尝试找到将数字的阶乘表示为连续数字之和的方式的数量。
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
// 用于获取可能解决方案数量的代码
long int Number_of_solutions(long int NUMBER){
long int counter = 0;
for (long int len = 1; len * (len + 1) < 2 * NUMBER; len++) {
double p = (1.0 * NUMBER - (len * (len + 1)) / 2) / (len + 1);
if (p - (int)p == 0.0)
counter++;
}
return counter;
}
// 主程序在此处
int main(){
long int NUMBER = 15;
cout << "将 15 写成连续数字之和的方法数:";
cout << Number_of_solutions(NUMBER) << endl;
NUMBER = 10;
cout << "将 10 写成连续数字之和的方法数:";
cout << Number_of_solutions(NUMBER) << endl;
return 0;
}
输出
运行上述 C++ 程序时，它将产生以下输出 -
将 15 写成连续数字之和的方法数:3 将 10 写成连续数字之和的方法数:1
方法 2:优化方法
这是一种更好的方法；我们上面看到的方法会导致溢出。
从数字 p 开始的 len 个连续数字的总和可以写成 −
sum = (p+1) + (p+2) + (p+3) … + (p+len) 因此，sum = (len*(len + 2*p + 1))/2
由于 sum 也等于 Number!。
我们可以写成
2*Number! = (len*(len + 2*p + 1))
在这里，我们将计算所有 (len, (len + 2*p + 1)) 对，而不是计算所有 (len, p) 对。这意味着我们将计算所有有序的 pf (A, B)，其中 AB=2*Number! 并且 A< B 和 A 和 B 的奇偶性不同，这意味着如果 len 为奇数，则 (len + 2*p + 1) 为偶数，如果 len 为偶数，则 (len + 2*p + 1) 为奇数。
这意味着我们正在寻找 2*Number! 的奇数除数，这也是 Number! 的奇数除数。
要计算 number! 中的除数，我们必须计算因式分解中素数的幂，除数的数量为 (f1 + 1)*(f2 + 1)* … *(fn + 1)。
我们将使用勒让德公式来计算数字阶乘中素数的最大幂。
示例
此方法的代码如下 -
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define maximum 5002
vector<int> v;
void sieve(){
bool Is_the_number_prime[maximum];
memset (Is_the_number_prime, true, sizeof(Is_the_number_prime) );
for (int prime = 2; prime * prime < maximum; prime++) {
if (Is_the_number_prime[prime] == true) {
for (int iterator = prime * 2; iterator < maximum; iterator += prime)
Is_the_number_prime[iterator] = false;
}
}
for (int prime = 2; prime < maximum; prime++)
if (Is_the_number_prime[prime])
v.push_back(prime);
}
long long int calculate_largest_power(long long int a, long long int b){
long long int c = 0;
long long int x = b;
while (a >= x) {
c += (a / x);
x *= b;
}
return c;
}
long long int modular_mult(long long int a,
long long int b,
long long int m){
long long int result = 0;
a = a % m;
while (b > 0) {
if (b % 2 == 1)
result = (result + a) % m;
a = (a * 2) % m;
b /= 2;
}
return result % m;
}
long long int no_of_ways(long long int n,
long long int m){
long long int answer = 1;
for (int iterator = 1; iterator < v.size(); iterator++) {
long long int powers = calculate_largest_power(n, v[iterator]);
if (powers == 0)
break;
answer = modular_mult(answer, powers + 1, m)%m;
}
if (((answer - 1) % m) < 0)
return (answer - 1 + m) ;
else
return (answer - 1) ;
}
int main(){
sieve();
long long int n = 4, m = 7;
cout << "对 7 取模后，解的数量为 " <<no_of_ways(n, m);
return 0;
}
输出
运行上述 C++ 程序时，将产生以下输出 -
对 7 取模后，解的数量为 1。
结论
在本文中，我们讨论了两种不同的方法来找出将数字的阶乘表示为连续自然数之和的方法的数量。
