傅里叶级数

让·巴蒂斯特·约瑟夫·傅里叶，法国数学家和物理学家；出生于法国欧塞尔。他开创了傅里叶级数、傅里叶变换及其在传热和振动问题中的应用。傅里叶级数、傅里叶变换和傅里叶定律以他的名字命名。

傅里叶级数

为了表示任何周期信号 x(t)，傅里叶开发了一种称为傅里叶级数的表达式。这是正弦和余弦或指数的无限和。傅里叶级数采用正交性条件。

连续时间周期信号的傅里叶级数表示

如果信号满足条件 x (t) = x (t + T) 或 x (n) = x (n + N)，则称该信号为周期信号。

其中 T = 基本时间周期，

ω₀= 基本频率 = 2π/T

有两种基本周期信号：

$x(t) = \cos\omega_0t$ (正弦) &

$x(t) = e^{j\omega_0 t} $ (复指数)

这两个信号都是周期信号，周期为 $T= 2\pi/\omega_0$。

一组谐波相关的复指数可以表示为 {$\phi_k (t)$

$${ \phi_k (t)} = \{ e^{jk\omega_0t}\} = \{ e^{jk({2\pi \over T})t}\} ext{where} \,k = 0 \pm 1, \pm 2 ..n \,\,\,.....(1) $$

所有这些信号都是周期性的，周期为 T

根据函数 x (t) 与 n 的正交信号空间近似，相互正交的函数由以下公式给出

$$x(t) = \sum_{k = - \infty}^{\infty} a_k e^{jk\omega_0t} ..... (2) $$

$$ = \sum_{k = - \infty}^{\infty} a_kk e^{jk\omega_0t} $$

其中 $a_k$= 傅里叶系数 = 近似系数。

该信号 x(t) 也是周期性的，周期为 T。

等式 2 表示周期信号 x(t) 的傅里叶级数表示。

项 k = 0 是常数。

项 $k = \pm1$ 的基频为 $\omega_0$，称为 1^st 谐波。

项 $k = \pm2$ 的基频为 $2\omega_0$，称为 2 次谐波，以此类推...

项 $k = ±n$ 的基频为 $n\omega0$，称为 n 次谐波。

导出傅里叶系数

我们知道 $x(t) = \Sigma_{k=- \infty}^{\infty} a_k e^{jk \omega_0 t} ...... (1)$

两边乘以 $e^{-jn\omega_0 t}$。然后

$$ x(t)e^{-jn\omega_0 t} = \sum_{k=- \infty}^{\infty} a_k e^{jk \omega_0 t} . e^{-jn\omega_0 t} $$

考虑两边的积分。

$$ \int_{0}^{T} x(t) e^{jk \omega_0 t} dt = \int_{0}^{T} \sum_{k=-\infty}^{\infty} a_k e^{jk \omega_0 t} . e^{-jn\omega_0 t}dt $$

$$ \quad \quad \quad \quad \,\, = \int_{0}^{T} \sum_{k=-\infty}^{\infty} a_k e^{j(k-n) \omega_0 t} . dt$$

$$ \int_{0}^{T} x(t) e^{jk \omega_0 t} dt = \sum_{k=-\infty}^{\infty} a_k \int_{0}^{T} e^{j(k-n) \omega_0 t} dt. \,\, ..... (2)$$

根据欧拉公式，

$$ \int_{0}^{T} e^{j(k-n) \omega_0 t} dt. = \int_{0}^{T} \cos(k-n)\omega_0 dt + j \int_{0}^{T} \sin(k-n)\omega_0t\,dt$$

$$ \int_{0}^{T} e^{j(k-n) \omega_0 t} dt. = \left\{ \begin{array}{l l} T & \quad k = n \ 0 & \quad k eq n \end{array} ight. $$

因此，在等式 2 中，除 k = n 外，积分对于所有 k 值都为零。将 k = n 代入方程 2。

$$\Rightarrow \int_{0}^{T} x(t) e^{-jn\omega_0 t} dt = a_n T $$

$$\Rightarrow a_n = {1 \over T} \int_{0}^{T} e^{-jn\omega_0 t} dt $$

将 n 替换为 k。

$$\Rightarrow a_k = {1 \over T} \int_{0}^{T} e^{-jk\omega_0 t} dt$$

$$因此 x(t) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} a_k e^{j(k-n) \omega_0 t} $$

$$ ext{其中} a_k = {1 \over T} \int_{0}^{T} e^{-jk\omega_0 t} dt $$